質問が4つあります。
質問①
「i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
lz-1l=r
の内側 0<Iz-1l<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1」
との事ですが、
0<r<2でn≧-2の時の場合わけが書いていなかったのですが0<r<2でn≧-2の時の場合わけはなぜないのでしょうか?
質問②
「ii)r>2の場合、
中心1半径r>2の円
Iz-1l=r
の内側
Iz-1l<r>2
です
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1,z=-1
と
n≦-2の時z=-1」
と教えて頂いたのですが、n≦-2の時、例えばn=-2とした場合
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の分母は1になるため、
分母は特異点を持たなくなると思うのですが、なぜn≦-2の時z=-1の特異点を持つと言えるのでしょうか?
最後に、
画像についても疑問が2つあります。
③
「z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開するというのは全く違う意味です。」と言われたのですが、
z=0.001におけるf(z)も
z=0.001周りで展開するf(z)の式も元は同じf(z)の式であるため、
z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値は同じなのではないかと考えています。
もし、z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値が異なる場合はなぜ異なるのか教えて頂けないでしょうか。
④
z=0.001での話でありますが、
i)0<r<2の場合でn≧-1あるいはn≦-2
ii)2<rの場合でn≧-1あるいはn≦-2
のような場合わけはないのでしょうか?
仮に場合わけがない場合は
なぜ場合わけがないのでしょうか?
どうかよろしくお願い致します。
A 回答 (32件中31~32件)
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No.2
- 回答日時:
中心1半径rの円
半径rに対して
lz-1l=r
となるような全ての z の集合
の内側
は
0<r<2となる
半径rに対して
lz-1l<r
となるような全ての z の集合
です
0<|z-1|<2 となるzの集合ではありません
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「0<|z-1|<2 となるような z で
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則だといっているのです
z=1では 条件0<|z-1|<2 を満たしていないから
z=1では
f(z)=1/(z^2-1)
は
正則でないのです」...A
と解答を頂きましたが、
「
lz-1l=r
の内側 0<Iz-1l<2
で
」
は誤りで
「
lz-1l=r
の内側
|z-1l<r<2
で
」
が正しいという事しょうか?
すなわち、Aの0<|z-1|<2は正しくは|z-1l<r<2なわけでしょうか?
あの、
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)
でも
f(z)=1/(z^2-1)
でも
内側は
「
lz-1l=r
の内側 0<Iz-1l<2
で
」
は誤りで、
「
lz-1l=r
の内側
|z-1l<r<2
で
」
が正しいのでしょうか?
補足で申し訳ありません。
7,
範囲としてのi)0<r<2の不等式と
内側としての|z-1l<r<2の不等式は何が違うのでしょうか?
f(z)=1/(z^2-1)のzの特異点を調べるために範囲を表している事はわかります。
頂いた解答の6に関しては
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関するii)2<rの場合は過去に何度も教えて頂いたのでわかります。
ですが
f(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合は教えて頂いた事はありません。
どうかf(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合を答えて頂けないでしょうか。
どうもありがとうございます。
「i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の
n≧-1の時、z=-1は特異点でないため、
a(n)=0となる」...A
画像のローラン展開はn≧-1やn≦-2などの場合わけはせずにローラン展開したのだと思いますが、
仮に上に書いた
Aの条件で画像のようにローラン展開した場合、
a(n)=0であるため、ローラン展開の式は0になるのでしょうか?
また、画像のローラン展開はn≧-1の時z=1(a(n)=-1/(-2)^(n+2))とn≦-2の時z=-1(a(n)=1/(-2)^(n+2))のどちらかの場合でのローラン展開なのでしょうか?
ありがとうございます。
2023.1.17 10:33の質問の2023.1.24 22:36の補足に書かせて頂いた。
「ii)r>2の場合
中心1半径r>2の円
|z-1|=r
の内側
|z-1|<r>2
です
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≦-2の時z=-1(単純に分母が(z+1)のみになり、
z=-1の時は|z-1|=rはr=2となりr>2の範囲を満たさない、かつ近似としてz→-1として
|z-1|=2.001より|z-1| は内側r>2の範囲に含まれるのでz=-1は特異点であり、正則でないためz=-1の場合が入る。)
となり、()の内容よりz=1は正則だとわかりました。」
に関してはz=1は正側で正しいでしょうか?
③に関する解答において質問がございます。
なぜ|z-0.001|>rの場合はないのでしょうか?
また、
2023.1.23 19:33に頂いた解答の
「|z-0.001|>rの場合は
f(z)は正則でも正則でなくてもどちらでもよいけれども
」
について、質問があります。
なぜ正則でも正則でなくても良いのでしょうか?
最後に同じ時間帯19:33に頂いた解答の
「|z-0.001|<r
となるようなすべてのzに対して
f(z)が正則となるような
r>0
が存在するとき
f(0.001)の真の値
f'(0.001),f"(0.001)…,のすべてがわかっているとき
f(z)
はz=0.001を中心とする
|z-0.001|<r
でテイラー展開できるのです」
について、どうやって|z-0.001|<rと導いたのでしょうか?