質問が4つあります。 質問① 「i)0<r<2の場合 中心1半径rの円 lz-1l=r の内側 0<

質問が4つあります。

質問①
「i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
lz-1l=r
の内側 0<Iz-1l<2
で
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1」
との事ですが、
0<r<2でn≧-2の時の場合わけが書いていなかったのですが0<r<2でn≧-2の時の場合わけはなぜないのでしょうか？

質問②
「ii)r>2の場合、
中心1半径r>2の円
Iz-1l=r
の内側
Iz-1l<r>2
です
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
分母が0になる特異点は
n≧-1の時z=1,z=-1
と
n≦-2の時z=-1」
と教えて頂いたのですが、n≦-2の時、例えばn=-2とした場合
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の分母は1になるため、
分母は特異点を持たなくなると思うのですが、なぜn≦-2の時z=-1の特異点を持つと言えるのでしょうか？



最後に、
画像についても疑問が2つあります。

③
「z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開するというのは全く違う意味です。」と言われたのですが、
z=0.001におけるf(z)も
z=0.001周りで展開するf(z)の式も元は同じf(z)の式であるため、
z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値は同じなのではないかと考えています。
もし、z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値が異なる場合はなぜ異なるのか教えて頂けないでしょうか。

④
z=0.001での話でありますが、
i)0<r<2の場合でn≧-1あるいはn≦-2
ii)2<rの場合でn≧-1あるいはn≦-2
のような場合わけはないのでしょうか？

仮に場合わけがない場合は
なぜ場合わけがないのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 他の質問に対して
  
  「0<|z-1|<2 となるような　z で
  f(z)=1/(z^2-1)
  は
  正則だといっているのです
  
  z=1では　条件0<|z-1|<2 を満たしていないから
  z=1では　
  f(z)=1/(z^2-1)
  は
  正則でないのです」...A
  
  と解答を頂きましたが、
  
  「
  lz-1l=r
  の内側 0<Iz-1l<2
  で
  」
  は誤りで
  「
  lz-1l=r
  の内側
  |z-1l<r<2
  で
  」
  が正しいという事しょうか？
  すなわち、Aの0<|z-1|<2は正しくは|z-1l<r<2なわけでしょうか？

    補足日時：2023/01/19 05:20

• あの、
  
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)
  でも
  f(z)=1/(z^2-1)
  でも
  
  内側は
  
  「
  lz-1l=r
  の内側 0<Iz-1l<2
  で
  」
  は誤りで、
  「
  lz-1l=r
  の内側
  |z-1l<r<2
  で
  」
  が正しいのでしょうか？

    補足日時：2023/01/21 04:25

• 補足で申し訳ありません。
  
  7,
  範囲としてのi)0<r<2の不等式と
  内側としての|z-1l<r<2の不等式は何が違うのでしょうか？
  
  f(z)=1/(z^2-1)のzの特異点を調べるために範囲を表している事はわかります。

    補足日時：2023/01/22 07:51

• 頂いた解答の6に関しては
  
  g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関するii)2<rの場合は過去に何度も教えて頂いたのでわかります。
  ですが
  f(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合は教えて頂いた事はありません。
  
  どうかf(z)=1/(z^2-1)に関してのii)2<rの場合を答えて頂けないでしょうか。

    補足日時：2023/01/23 14:55

• どうもありがとうございます。
  
  「i)0<r<2の場合
  中心1半径rの円
  |z-1|=r
  の内側 |z-1l<r<2で
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の
  n≧-1の時、z=-1は特異点でないため、
  a(n)=0となる」...A
  
  画像のローラン展開はn≧-1やn≦-2などの場合わけはせずにローラン展開したのだと思いますが、
  
  仮に上に書いた
  Aの条件で画像のようにローラン展開した場合、
  a(n)=0であるため、ローラン展開の式は0になるのでしょうか？
  
  また、画像のローラン展開はn≧-1の時z=1(a(n)=-1/(-2)^(n+2))とn≦-2の時z=-1(a(n)=1/(-2)^(n+2))のどちらかの場合でのローラン展開なのでしょうか？

  
    補足日時：2023/01/25 08:44

• ありがとうございます。
  2023.1.17 10:33の質問の2023.1.24 22:36の補足に書かせて頂いた。
  
  「ii)r>2の場合
  中心1半径r>2の円
  |z-1|=r
  の内側
  |z-1|<r>2
  です
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
  の
  分母が0になる特異点は
  
  n≦-2の時z=-1(単純に分母が(z+1)のみになり、
  z=-1の時は|z-1|=rはr=2となりr>2の範囲を満たさない、かつ近似としてz→-1として
  |z-1|=2.001より|z-1| は内側r>2の範囲に含まれるのでz=-1は特異点であり、正則でないためz=-1の場合が入る。)
  となり、()の内容よりz=1は正則だとわかりました。」
  に関してはz=1は正側で正しいでしょうか？

    補足日時：2023/01/26 12:31

• ③に関する解答において質問がございます。
  なぜ|z-0.001|>rの場合はないのでしょうか？
  
  また、
  2023.1.23 19:33に頂いた解答の
  「|z-0.001|>rの場合は
  f(z)は正則でも正則でなくてもどちらでもよいけれども
  」
  について、質問があります。
  なぜ正則でも正則でなくても良いのでしょうか？
  
  最後に同じ時間帯19:33に頂いた解答の
  「|z-0.001|<r
  となるようなすべてのzに対して
  f(z)が正則となるような
  r>0
  が存在するとき
  f(0.001)の真の値
  f'(0.001),f"(0.001)…,のすべてがわかっているとき
  f(z)
  はz=0.001を中心とする
  |z-0.001|<r
  でテイラー展開できるのです」
  について、どうやって|z-0.001|<rと導いたのでしょうか？

    補足日時：2023/01/31 12:53

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 19:33

③でz=0.001周りで展開するといっているから

z=0.001周りのテイラー展開
といったのです
z=0.001の点でのテイラー展開
でもよいけれども
z=0.001の点でのテイラー展開
は
z=0.001周りのテイラー展開
でもあるのです

テイラー展開の場合は積分しないので
C={z||z-0.001|=r}(積分経路)
は使いません

|z-0.001|>rの場合は
f(z)は正則でも正則でなくてもどちらでもよいけれども

|z-0.001|<r
となるようなすべてのzに対して
f(z)が正則となるような
r>0
が存在するとき
f(0.001)の真の値
f'(0.001),f"(0.001)…,のすべてがわかっているとき
f(z)
はz=0.001を中心とする
|z-0.001|<r
でテイラー展開できるのです

ほとんどの場合は
f(0.001)の真の値がわからなくてその近似値を求めるために
f(z)をz=0でテイラー展開するのです
だから
f(z)をz=0.001を中心にテイラー展開する等全く無意味なのです
無意味な事はやめましょう

No.21 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 17:12

④

f(z)
を
z=0.001周りでの
テイラー展開は
z=0.001でf(z)が正則でなければなりません
z=0.001における
f(z)の真の値
f(0.001)
f'(0.001),f"(0.001),f"'(0.001),…のすべて
がわからなければなりません
ある十分ちいさなr>0に対して
|z-0.001|<r
となる全てのzに対して
f(z)が正則でなければなりません

f(z)をz=0.001周り
|z-0.001|<r
でテイラー展開は

f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+…

となるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

z=0.001周りのテイラー展開とは
z=0.001の点でのテイラー展開を言っているのでしょうか？

なるほど、|z-0.001|<rとなるようなzならば、
C={z||z-0.001|=r}(積分経路)より
積分経路のrが|z-0.001|<rのrはより小さい場合のみ、
f(z)が正則であり、テイラー展開できるとわかりました。

ちなみに、なぜ|z-0.001|>rの場合はf(z)は正側ではないのでしょうか？

お礼日時：2023/01/23 18:06

No.20 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 17:01

③

z=0.001におけるf(z)の真の値がわからなければ
f(z)をz=0.001周りでテイラー展開できません

f(z)をz=0.001周りでテイラー展開は

f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+…

なのだから

z=0.001における
f(z)の真の値
f(0.001)
がわからなければ

f(z)=f(0.001)+(z-0.001)f'(0.001)+f"(0.001)(z-0.001)^2/2+…

と展開できないといっているのです

No.19 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 16:53

9

θ=π/3などの特異点でない点での
f(θ)=sinθ/cosθ
の留数は

0<r<π/6
Res_{θ=π/3}f(θ)=1/(2πi)∫_{|θ-π/3|=r}f(θ)dθ

f(θ)=sinθ/cosθ
は
|θ-π/3|<r<π/6
で正則だからコーシーの積分定理から
Res_{θ=π/3}f(θ)=1/(2πi)∫_{|θ-π/3|=r}f(θ)dθ=0
だから
留数は0になります

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 16:44

過去に何度も書いたのは

ii)2<rの場合
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関する
ものではなく
f(z)=1/(z^2-1)に関してのものです

ii)2<rの場合
は
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
だけをローラン展開しているのではありません

f(z)=1/(z^2-1)
を
2<r=|z-1|
で
ローラン展開しているのです

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=1を中心とする
2<r=|z-1|^
でのローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)=1/(2πi)∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz

をもとめるために

g(z)
=f(z)/(z-1)^(n+1)
=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

としているのです

最後に求めた　a(n) は
g(z)ではなく
f(z)のローラン展開係数なのです

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 16:41

過去に何度も書いたのは

ii)2<rの場合
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)に関する
ものではなく
f(z)=1/(z^2-1)に関してのものです

ii)2<rの場合
は
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
だけをローラン展開しているのではありません

f(z)=1/(z^2-1)
を
2<r=|z-1|
で
ローラン展開しているのです

f(z)=1/(z^2-1)
の
z=1を中心とする
2<r=|z-1|
でのローラン展開
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)=1/(2πi)∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dθ

を求めるために

g(z)
=f(z)/(z-1)^(n+1)
=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}

としているのです

最後に求めた　a(n) は
g(z)ではなく
f(z)のローラン展開係数なのです

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/23 16:24

8

θ=π/2でのf(θ)=sinθ/cosθ
の留数とは

Res_{θ=π/2}f(θ)=1/(2πi)∫_{|θ-π/2|=r}f(θ)dθ

の事です
これは
f(θ)=sinθ/cosθ
の
θ=π/2を中心とする
0<|θ-π/2|=r<2
でのローラン展開
f(θ)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(θ-π/2)^n

a(n)=1/(2πi)∫_{|θ-π/2|=r}{f(θ)/(θ-π/2)^(n+1)}dθ

a(-1)=Res_{θ=π/2}f(θ)=1/(2πi)∫_{|θ-π/2|=r}f(θ)dθ

の事です
だから

θ=π/2でのf(θ)=sinθ/cosθ
の留数は

a(-1)=-1=Res_{θ=π/2}f(θ)
となります

近似式ではありません

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 14:12

訂正です

4.
f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z-1|=r<2での
z=1を中心とするローラン展開は

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)=∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
C={z||z-1|=r}

としたのだから

f(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
としてしまったら
f(z)=1/(z^2-1)=f(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
となって
n=-1
となるから

f(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}としてはいけません

f_n(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}とするか
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}とするか
g_n(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
と別の変数を使うべき

なお
被積分関数は
f(z)=1/(z^2-1)だけでなく
f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
です

i)0<r<2の場合
中心1半径rの円
|z-1|=r
の内側 |z-1l<r<2
であり、
0<r<2での
積分経路は
C={z||z-1|=r}

という書き方はおかしいのです

i)0<r<2の場合
0<r<2での
f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
積分経路は
中心1半径rの円
|z-1|=r
C={z||z-1|=r}
であり

その内側 |z-1l<r<2
の
f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
特異点が
あるかどうかによって

f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
の
Cでの積分値が決まるのだから

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あの、補足で申し訳ないのですが、

8,
θ=π/2などの特異点でのf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の近似式は∞になるため留数は求まらないのでしょうか？

9,
θ=π/3などの特異点でない点でのf(θ)=sin θ/cosθのローラン展開の近似式から留数を求める事が出来る。
という理解で良いでしょうか？

最後に、
画像についても疑問が2つあります。

③
「z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開するというのは全く違う意味です。」と言われたのですが、
z=0.001におけるf(z)も
z=0.001周りで展開するf(z)の式も元は同じf(z)の式であるため、
z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値は同じなのではないかと考えています。
もし、z=0.001におけるf(z)の値と
z=0.001周りで展開してz=0.001を代入して導いたf(z)の値が異なる場合はなぜ異なるのか教えて頂けないでしょうか。

④
z=0.001での話でありますが、
i)0<r<2の場合でn≧-1あるいはn≦-2
ii)2<rの場合でn≧-1あるいはn≦-2
のような場合わけはないのでしょうか？

仮に場合わけがない場合は
なぜ場合わけがないのでしょうか？

どうか答えて頂けるとありがたいです。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/01/23 14:39

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 13:57

訂正です

1.
f(z)=1/(z^2-1)
の
0<|z-1|=r<2での
z=1を中心とするローラン展開は

f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n

a(n)=∫_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
C={z||z-1|=r}

で定義されるからローラン展開の定義から

f(z)=1/(z^2-1)だけでなく
f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
に関して0<r<2での積分経路は
C={z||z-1|=r}
なのです

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/22 11:36

7

0<r<2
は半径　r が 変化する範囲

0<r<2
となる
r
に対して
|z-1|=rとなるzの集合
C={z||z-1|=r}は積分経路

0<r<2
となる
r
に対して
|z-1|<rとなるzの集合
D={z||z-1|<r}はCの内側

f(z)=1/(z^2-1)のCでの積分の値は
Dに特異点があるかどうかによって決まる