No.1ベストアンサー
- 回答日時:
0≦x≦1のとき、
1≦1+x^3≦1+x^2
で等号が成立するのは、x=0のときだけですよね。
グラフを思い浮かべてもらえればよいですが、
『0から1まで定積分した結果で等号が成り立つには、
0≦x≦1の間、ずっと等号がなりたたないといけません。』
※実は上に書いたのはウソで、正しくは
『0から1まで定積分した結果で等号が成り立つには
0≦x≦1の間、「ほとんど」のxで等号が成り立たないといけない』ですが、まあイメージは同じでしょう。
No.2
- 回答日時:
0≦x≦1で x^3≦x^2(等号はx=0,x=1の時のみです)ですから
1/{1+x^3}≧1/{1+x^2}(等号はx=0,x=1の時のみ)
となります。0<x<1では
1/{1+x^3}>1/{1+x^2}≧1ですね。
したがって積分はグラフに描いた時殆どのxでグラフの上下関係から面積の大小で決まりますので
∫(0~1)1/{1+x^3}dx>∫(0~1)1/{1+x^2}dx
と不等号はつきませんね。
大まかなグラフの図を描いていただければ明らかですね。
なお、∫(0~1)1/{1+x^2}dx=π/4になります。
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