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次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。
a、b、c、dが正の数のとき (a/b+c/d)(b/a+d/c)≧4
(自分の解答)
a、b、c、dが正の数なのでa/b+c/d>0、b/a+d/c>0
相加、相乗平均の関係より
(a/b+c/d)+(b/a+d/c)≧4√(a/b+c/d)・(b/a+d/c)=4
が成り立つ。
等号が成り立つのはa/b+c/d=b/a+d/cすなわち……
自分なりに問いてみましたが、分からず詰まってしまいました。
お時間のある方、お手伝いよろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
a、b、c、dが正の数なのでa/b>0,c/d>0,b/a>0,d/c>0
相加、相乗平均の関係より
(a/b)+(c/d)≧2√{(a/b)(c/d)}=2√(ac/bd) (等号はa/b=c/d,即ちad=bcのとき成り立つ)
(b/a)+(d/c)≧2√{(b/a)(d/c)}=2√(bd/ac) (等号はb/a=d/c即ちad=bcのとき成り立つ)
が成り立つ。
2つの不等式の両辺は全て正、かつ不等式の等号成立条件が同じなので、辺辺掛けた
(a/b+c/d)(b/a+d/c)≧4√(ac/bd)(bd/ac)=4(等号はad=bcのとき成り立つ)
が成り立つ。
No.3
- 回答日時:
先ず、問題に飛びつかないで、問題を良く見る事を習慣にしたら良い。
そうすれば、不等式は ある綺麗な形になっている事に気がつく。
置き換えてやると、計算も簡単だし、なによりも先の見通しがよくなる。憶えておいたらよい。
a/b=α、c/d=βとすると、α>0、β>0
(a/b+c/d)(b/a+d/c)=(α+β)*(1/α+1/β)≧4を示す事になる。そこから方法は2つある。
(解法-1)
(α+β)*(1/α+1/β)=2+(β/α+α/β)≧2+2=4 β/α+α/β≧2だから。
等号は、α=β つまりad=bcの時。
(解法-2)
(α+β)≧2√(αβ) 等号は α=βの時。(1/α+1/β)≧2√(αβ) 等号は α=βの時。
この2つの不等式を掛け合わせると
(α+β)*(1/α+1/β)≧4 等号は α=βの時。
(注)
解法-2は 最初の2つの不等式の等号成立条件が α=βで同じだから掛け合わせることができた。
従って、慣れないうちは 解法-1 の方が安全。
例えば、(α+1/β)*(β+4/α)≧9 を証明せよ、という問題なら 解法-2 は通用しない。
2つの不等式の等号成立条件が違うから。実際にやってみたら良い。
No.1
- 回答日時:
A+B≧Cの形ではないので、そのまま相加相乗平均の関係を使おうとしても難しいです。
【解】
a/b+c/dについて
a,b,c,dが正の数なので、a/b>0,c/d>0
相加相乗平均の関係より
a/b+c/d≧2√(a/b*c/d)-(1)
b/a+d/cについて同様に
b/a+d/c≧2√(b/a*d/c)-(2)
(1)、(2)の辺々を掛けて
(a/b+c/d)*(b/a+d/c)≧2*2√((a/b*c/d)*(b/a*d/c))
(a/b+c/d)(b/a+d/c)≧4-証明了
等号成立は(1)よりa/b=c/d、(2)よりb/a=d/cのとき
どちらもad=bc
等号成立の部分は少し自信無いですがこんな感じだと思います。
参考URLもご参照下さい。
参考URL:http://www.din.or.jp/~saigou/math/sagi6.htm
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