座標平面上において、放物線y=x^2上に異なる2点

座標平面上において、放物線y=x^2上に異なる2点P,Qをとり、線分PQの中点をMとし、Mの座標を(a, b)とする。
(1) a=1, b=3のとき、線分PQの長さPQを求めよ。
(2) PQ=4の とき、b を a の式で表せ。
(3) PQ=4を満たしながらP, Qを動かすとき、b の最小値を求めよ。

(1)のPQが2√10になるのはわかりました。

No.5 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2013/09/08 05:03

No.3です。

追加させてください。

(2)で、b=a^2+4/(4a^2+1) と計算できれば、相加平均と相乗平均の関係を使ってbの最小値を求めることもできます。

4a^2+1=A とおけば、b=A/4-1/4+4/A=A/4+4/A-1/4

A>0 だから、相加平均と相乗平均の関係から、A/4+4/A≧2√(A/4)(4/A)=2

したがって、b≧2-1/4=7/4

ただし等号はA/4=4/A つまり　A=4, 4a^2+1=4, a=±√3/2 のとき。

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/09/07 07:39

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8250348.html

No.3 回答者： staratras 回答日時： 2013/09/06 12:14

この問題は順を追って(２)の式から(３)を求めように誘導していますが、放物線の性質を使えば(３)の結果は直接わかります。

一種の検算にもなるので参考まで。

y=x^2のグラフはy軸に対称なので、a≧0の範囲で考えても一般性を失いません。

放物線y=x^2上のすべての点は、この放物線の焦点F（0,1/4)と準線y=-1/4からの距離が等しいので、P,Q,Mから準線にそれぞれ垂線PP',QQ',MM'を下ろすと、PP'=PF,QQ'=QF です。またMはPQの中点なので、MM'=(PP'+QQ')/2=(PF+QF)/2　…(1) です。

b=MM'-1/4 なので、bが最小となるのはMM’が最小となるときで、これは(1)からPF+QFが最小となるときです。ここで三角形(または直線)PQFを考えると、PF+QF≧PQ=4 で等号はP,Q,Fが一直線上にあるときです。

このとき(1)からMM'=2となるので、b=2-1/4=7/4
bの最小値は7/4です。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/09/05 23:07

P(p,p^2),Q(q,q^2),PQの中点M(a,b)とすると

p+q=2a　　　　　(1)

p^2+q^2=2b　　　(2)

3平方の定理より

PQ^2=(p-q)^2+(p^2-q^2)^2=(p-q)^2[1+(p+q)^2]　　(3)

(2)(1)より

2b=p^2+q^2=(p+q)^2-2pq=4a^2-2pq

pq=2a^2-b (4)

(3)に(1),(4)を用いて


PQ^2=(p-q)^2[1+(p+q)^2]=[(p+q)^2-4pq][1+(p+q)^2]

=[4a^2-4(2a^2-b)][1+4a^2]=4(b-a^2)(1+4a^2) (5)

(1) a=1, b=3のとき、線分PQの長さPQを求めよ。

PQ^2=40,PQ=2√10

(2) PQ=4の とき、b を a の式で表せ。

(5)より

PQ^2=4(b-a^2)(1+4a^2)＝16

b=a^2+4/(4a^2+1) (6)

(3) PQ=4を満たしながらP, Qを動かすとき、b の最小値を求めよ。

(6)より

4a^4-(4b-1)a^2-(b-4)=0　　　(7)

a^2に関する２次方程式とみて2根とも負になる条件以外の条件からbの範囲を求める。

D=(4b-1)^2+16(b-4)=16b^2+8b-63≧0　　(8)

2根とも負になる条件は

２根の和＝(4b-1)/4<0 (9)

２根の積＝-(b-4)/4>0　　(10)

(9),(10)を満たすのはb<1/4　

よって少なくとも１個の正の根を有するためには

b≧1/4 (12)

を必要条件とする。

(8)は因数分解できて

(4b-7)(4b+9)≧0　　　

b≧7/4またはb≦-9/4 (13)


(12)、(13)を満たすのは

b≧7/4

bの最小値は7/4である。



もし微分を知っているなら(6)においてbをaの関数とみて微分し極値から

最小値を求めることができる。（グラフをかくこと）

これからもbの最小値は7/4であることを確認してある。

No.1 回答者： DJ-Potato 回答日時： 2013/09/05 18:55

PとQの座標をP(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)とおくと、

Yp = Xp^2
Yq = Xq^2ですね。

a = (Xp + Xq) / 2
b = (Xp^2 + Xq^2) / 2 となるので、
4a^2 - 2b = 2XpXq

三平方の定理より
PQ^2 = (Xp - Xq)^2 + (Xp^2 - Xq^2)^2
= (Xp - Xq)^2 + (Xp + Xq)^2(Xp - Xq)^2
= (Xp - Xq)^2(1+(Xp + Xq)^2)
= (Xp^2 + Xq^2 - 2XpXq)(1+ (Xp + Xq)^2)
= (2b - 4a^2 + 2b)(1+4a^2)
= 4(b-a^2)(1+4a^2)

こんな感じでどうでしょう？