直角三角形の面積を二等分する線の最小値を求める問題です 直角三角形ABC AB＝BC＝1、AC＝√2

直角三角形の面積を二等分する線の最小値を求める問題です

直角三角形ABC
AB＝BC＝1、AC＝√2の面積を二等分する線の長さの最小値を求める問題です

答えまでの過程を教えていただけるとありがたいです

図汚くてすみません

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/24 16:44

相当気になると見える。

２回も質問してるから。
x軸とy軸を入れ替えても同じだから下図の2ケースで考える。

ケース１
△a0bの面積が元の半分=1/4だから
ab･(1/2)=1/4よりb=1/2a

線分ab=√(a²+b²)=√(a²+1/4a²)
f(a)=a²+1/4a²と置き、aで微分するとa=1/2の時最小値をとる事が解る。
この時b=1/2になるから
∴線分ab=(√2)/2＝0.707106781


ケース2
図の水色3角形の面積を1/4にする時の線分bPの最小値を求めれば答えになる。

この図はx軸とy軸を入れ替えても同じになるから、bがy軸上にある場合だけを考えれば良い。

赤線：y=-x+1
青線：y=ax+b (0≦a, 0≦b<1)と置く

赤線と青線の交点Pは計算すると{(1-b)/(a+1), (a+b)/(a+a)}

線分bPの長さ：√{(1-b)²/(a+1)² + a²(1-b)²/(a+1)²} ①

水色3角形の面積：(1-b)²/2(a+1)
これを1/4にするには、(1-b)²/2(a+1)=1/4　∴(1-b)²=(a+1)/2

①に代入すると
bP=(1/√2)√{(a²+1)/(a+1)}　②

f(a)=(a²+1)/(a+1)と置いて、aで微分すると、a=√2-1の時に最小値を採る事が解る。

a=√2-1を②に代入すると、√(√2 - 1)

最小値=√(√2 - 1) = 0.643594253････

結論
ケース2の時が最小値√(√2 - 1)

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/09/22 19:51

最大辺のACからBへ垂線を引く。

それが最小値√2/2となる。
二等辺三角形なので底辺(=最大辺)ACから点Bへの垂線は底辺ACを2等分することになる。
ACが垂線で2等分された場合面積も2等分される。

BCやBAの2等分線で面積を2分割した場合、その分割線の長さは、1+1/4=5/4となり、
√2/2<5/4となるので最小値とはならない。