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問題)
8を足すと11で割り切れ、11を足すと8で割り切れる整数のうちで一番小さい整数は何ですか。


解説には8+11=19、11×8=88、88-19=65 答え65
となっています。  
8を足すと11で割り切れるということは11の倍数から8を引いたもの、11を足すと8で割り切れるということは8の倍数から11を引いたものと言えると思うのですが、解説の8+11=19を使う意味が良く分かりません。
どなたか分かり易くお教えいただけると有難いです。宜しくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (5件)

最後に計算間違えてますよ


88-19=69です

解説の解き方はユークリッドの互除法かなぁとは思います(高校数学か大学数学)

私なら
8足したら11の倍数
11足したら8の倍数
なので、
ある11の倍数に3足したら8の倍数になる。この最小の数を求める
ということします
11,33,55,77と順に考えて、77が該当(3が奇数で、8の倍数が偶数、偶数足す奇数は奇数になるので、22などは除外)
あとは、77から8引いたら答えが出ます

順にやるのがダメなら、小学の内容からは外れますが
11n +3= (8+3)n +3
=8n +3n+3
=8n+3(n+1)=8m
(n,mは整数)
となり、3(n+1)が8の倍数でないといけなくなります
3は8と関係ないので、n+1が8の倍数
最小なので
n+1=8
n=7

11n = 77
77-8=69

なんというか…中学受験って難しいのですね
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この回答へのお礼

早速ご解答有難うございました!
1つ目の最後に当てはめて解く方法の方は線分図に書くと、小5でも分かり易く、無理がない解き方だと思いました。この問題に関してはいろんな切り口から考えられることが分かりました。有難うございました。

お礼日時:2015/11/21 00:28

今の小学生は、こんな難しいことやってるんですか~。


結構、解説の仕方も難しいですね。
切り口は多いほうが良いと思うので、素人の私も参加させていただきます。

まず、求める数= N とします。

a.「 8 を足すと 11 で割り切れる数」というのは、さらに 11 を足しても 11 で割りきれる。
つまり、N+8+11 は 11 で割り切れる数。

b.「 11 を足すと 8 で割り切れる数」というのは、さらに 8 を足しても 8 で割り切れる。
つまり、N+11+8 は 8 で割り切れる数。

c.これらのことから、N + 19 は、11 でも 8 でも割り切れる数。

d.11 と 8 の最小公倍数は 11 × 8 = 88 なので、 N + 19=88 となる数を考えれば良い。

e. N=88-19=69 となる。
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この回答へのお礼

a.の時はさらに11を足すのとb.の時もさらに8を足すという発想がなかなか私にも息子にも出てこなくて・・・・。でも、頂いた解説は、本当!確かに!とすごく納得できるものでした。理解が深まりました!ありがとうございました。

お礼日時:2015/11/21 00:07

69が最小を保証できないと危ないと思います。


多分証明できるんだろうけど小学生の範疇とは思えないのでちょっと
別解

3、14、25、
5、13、21、

ここで 3と21の差が3の倍数なのに目をつけると
11-8=3だから

(21-3)÷3 =6
3+6×11=69

つまり後6例、69が出てくるまで計算すれば良いことは
すぐわかります。
全て計算して69が最小であることを確認して
おしまい。
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この回答へのお礼

私と息子の能力では理解が及びませんでした。ここまで最初から見当がつくようになれれば良いのですが・・・・・・。

お礼日時:2015/11/21 00:10

「11で割り切れ」「8で割り切れる」ということで、「11でも8でも割り切れる」最小の数をまず求め(11×8=88)、


・「88」から「11」を引いたものは、まだ「11」で割り切れるから(=77)、そこから「8」を引く。
・「88」から「8」を引いたものは、まだ「8」で割り切れるから(=80)、そこから「11」を引く。

ということで、どちらも「19」を引く、ということです。だから、「88 - 19 = 69」。
質問文の引き算は間違えていますね。
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この回答へのお礼

早速解答を頂き有難うございました!お礼が遅くなりました。3行目からの「まだ11で割り切れるから8を引く、まだ8で割り切れるからそこから11をひく」というところに算数が苦手な部類のものはなかなか気付けないのです。。。

お礼日時:2015/11/21 00:21

これは数字の関係で「たまたま」うまくいくというだけだな.



「11 の倍数から 8 を引いたもの」というのは, 全体として考えると「11 の倍数から 19 を引いたもの」と同じになる (19 = 8 + 11 で, 「11 の倍数から 11 を引いたもの」は結局 11 の倍数だから). 一方, 「8 の倍数から 11 を引いたもの」というのは全体として「8 の倍数から 19 を引いたもの」と同じ. これで引いている「19」という値が共通になったので「11 と 8 の公倍数から 19 を引いたもの」を考えればいいということになる.

なるんだが, この問題は実際には
「8を足すと11で割り切れ、3を足すと8で割り切れる整数のうちで一番小さい整数は何ですか」
という問題と同じになる (11 - 8 = 3). でも, 今度はその解説のようなことはできない. 最初に「たまたま」と書いたのはそういった理由.
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この回答へのお礼

早速ご解答頂いたのにお礼が遅くなりました。線分図に書いてすんなり、理解することができました!
「なるんだが、」のあとからは、すみません、いまいち解らなかったのですが、問題は理解でき、助かりました!有難うございました!

お礼日時:2015/11/21 00:16

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