一次関数の最短距離の問題です。 A(4,3)B(0,2)がある。x軸上にAP+PBが最短となるように

一次関数の最短距離の問題です。
A(4,3)B(0,2)がある。x軸上にAP+PBが最短となるようにPを取るとき、Pの座標を求めよ。
この問題普通はBを対称移動させますが、別解を考えたら答えが違いました。どこが違うのでしょうか？
(別解)P(m,0)とする(0<m<4)
AP+PBが最短となるとき、AP^2+PB^2も最短となるから、AP^2=(4-m)^2+9
PB=m^2+4より、
(4-m)^2+9+m^2+4の最小値を求める。
平方完成して2(m-2)^2+21
0<m<4のとき、この最小値はm=2のとき21
よってP(2,0)
実際の答えはP(8/5,0)でした。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/16 06:07

|AP|+|PB|が最短となるとき、|AP|^2+|PB|^2も最短となるとは限らない

A(4,3)
B(0,2)

P(8/5,0)
のとき
|AP|=(√178)/5
|BP|=(2√41)/5
|AP|+|BP|=(√178+2√41)/5≒5.229582507798406<6

P(2,0)
のとき
|AP|=√13
|BP|=2√2
|AP|+|BP|=√13+2√2≒6.433978400210179>6

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/16 13:38

#1です訂正です

|AP|+|PB|が最短となるとき、|AP|^2+|PB|^2も最短となるとは限らない
のでそこが違います

A(4,3)
B(0,2)

P(8/5,0)
のとき
|AP|=(3√41)/5≒2.668332812825267
|BP|=(2√41)/5≒2.561249694973139

|AP|+|BP|=√41≒6.4031237432<6.41

P(2,0)
のとき
|AP|=√13≒3.605551275463989
|BP|=2√2≒2.82842712474619
|AP|+|BP|=√13+2√2≒6.433978400210179>6.41

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2022/12/16 09:08

高校入試で、よく出る問題です。

この場合、光の性質を利用します。
座標Bから出発して、ｘ軸（座標P［ｍ，0］）で反射し座標Ａまでの距離は、光の場合、最短距離を移動するので、
入射角＝反射角　から
｜座標Bから座標Ｐまでの傾き｜＝｜座標Pから座標Aまでの傾き｜
2/m=3/(4-m)
8-2m=3m
m=8/5
座標Ｐ=(8/5,0)