距離の和を最小にする点を求める問題

ｘｙ平面上の3点 O(0,0) A(1,0) B(0,1)　からの距離の和　OP+AP+BP を最小にする点Pを求めよ


この問題を解いてます
問題文が短く、全然わからなかったのですが、なんとなくOを中心とする半径１の円周上にPがあると仮定してP(cosθ、sinθ)とおいて距離を計算してみたのですが、うまく最小値を計算できませんでした。２次関数の最大最小問題には帰着できませんでした。
この発想は全然ダメでしょうか？
アドバイスいただけたら幸いです。よろしくお願いします

No.4 ベストアンサー 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2006/08/03 04:49

点Ｐが仮に辺ＡＢ上にあるとすると、ＡＢの中点が最小になることがわかる。

同様に
辺ＯＡ上にあるとすると、Ｏ
辺ＯＢ上にあるとすると、Ｏ
になるので、ＯとＡＢの中点上にある
この時、中点をＱとして∠ＢＰＱ＝θとすると
OP+AP+BP ＝ (sinθ-cosθ+2)/(√2 sinθ)
ただし４５°<= θ <= ９０°

この回答への補足

回答ありがとうございます。

>この時、中点をＱとして∠ＢＰＱ＝θとすると
OP+AP+BP ＝ (sinθ-cosθ+2)/(√2 sinθ)

申し訳ありませんがこの部分をもう少し教えていただけないでしょうか？

補足日時：2006/08/06 20:05

No.5 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2006/08/07 02:12

#4>この部分をもう少し教えていただけないでしょうか？

図を描いて、OP+AP+BP を求めてちょっと整理するとそんな感じになるかと

この回答へのお礼

やっとわかりました。
本当にありがとうございました

お礼日時：2006/08/08 22:34

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/03 04:27

回答No.2に追加です。

回答No.2でご紹介した問題に比べて、ご質問の場合はOABが（直角三角形であることは、ま、どうでもよくて）二等辺三角形という限定が付いているぶん、ずっと簡単になっています。Pがどんな線上に来そうかはすぐに分かるはず。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2006/08/03 04:08

過去に同じ質問↓がありますが、証明のヒントと答だけしか書かれていません。

アドバイスをご希望ですので、ちょうど良いでしょう。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=111184

No.1 回答者： ev_galois 回答日時： 2006/08/02 23:17

少なくとも、ＰはＯ，Ａ，Ｂを結ぶ三角形の中に存在するはずなんで、Ｐを（sinθ, cosθ）とおくことは良くないと思います。

Ｐを（x, y）とおくとき、
ＰＯ＋ＰＡ＋ＰＢ＝√（x^2+y^2）+ √（(x-1)^2+y^2）+ √（x^2+(y-1)^2）
が最小となる（x, y）を求めればよい。
このままでは求めにくいから、
ＰＯ^2＋ＰＡ^2＋ＰＢ^2
とし、これが最小となる（x, y）を求めればよいと思います。
上式を x, yについてそれぞれ平方完成すると、
上式　＝　(x - □)^2 + (y - △)^2 + ☆
と変形できるので、
x = □
y = △
のとき、が求めるＰの座標となるかと思います。
参考になれば幸いです。

この回答への補足

早速回答いただきありがとうございます。
そうですね！（x,y）と置くほうがいいですよね！自分は何をやっていたのでしょうか・・・。

ひとつわからないのですが、
ＰＯ^2＋ＰＡ^2＋ＰＢ^2　を最小にするx,yはＰＯ＋ＰＡ＋ＰＢを最小にするのでしょうか？
PO^2が最小ならPOが最小だというのは理解できるのですが、２乗の和を最小にするものはそれぞれの１乗の和を最小にするのでしょうか？

補足日時：2006/08/02 23:28