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現在、「複素数と方程式」の分野を勉強していますが、わからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたか、おわかりになる方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
x^2+1で割ると3x+2余り、x^2+x+1で割ると2x+3あまるようなxの整式のうちで、次数が最小のものを求めよ
です。

解答は、
整式P(x)を4次式(x^2+1)(x^2+x+1)で割ったときの商をQ(x),余りをR(x)とすると、P(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りは、それぞれ、R(x)をx^2+1、x^2+x+1で割ったときの余りに等しいから、
求める次数が最小の整式は、このR(x)である。

私のネックは問題文の「次数が最小のもの」というところで、解答の最後の一行がわかりません。~等しいから、まではわかるのですが、だからといって、どうして、最後の一行につながるのかがわかりません。

私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため、困っています。
どなたか、ご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また、説明不足の点があれば、補足させていただきますので、宜しくお願いいたします。

A 回答 (1件)

「x^2+1で割ると3x+2余り、x^2+x+1で割ると2x+3余る」ってのを★と書きます。



P(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)

と表されます。

R(x)、P(x)をx^2+1,x^2+x+1で割った余りが等しいので、

P(x)が★を満たすには、R(x)も★を満たさなければなりません。逆にR(x)が★を満たせばP(x)も★を満たします。

と、いうことは、R(x)が★を満たせばQ(x)は何でもいいということです。

ここでP(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)+R(x)の次数を考えてみます。Q(x)=0の時は、R(x)の次数に等しく"3次以下"です。次にQ(x)≠0の時は、(x^2+1)(x^2+x+1)Q(x)の次数に等しく、"4次以上"になります。
つまり、P(x)の次数が最小になるのは、Q(x)=0(⇔P(x)=R(x))の時、になります。
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この回答へのお礼

eatern27様、一日に何度も御回答いただきありがとうございます。Q(x)=0のときと、Q(x)≠0でわけて考えるのですね。大変よくわかりました。先生に聞くよりも、聞きやすく、分かりやすく、早いです。本当にいつもありがとうございます。

また、お聞きすることもあると思いますが、宜しくお願いいたします。

お礼日時:2004/07/18 13:28

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