絶対値と最小値

n が整数であるとき、
S= │n-1│+│n-2│+・・・+│n-100│
の最小値を求めよ.また、そのときの n の値も求めよ.

質問者からの補足コメント

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  いつもお世話になっております。
  
  出来ましたら、途中過程も頂きたいです
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/15 07:31

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  正解は、質問者なら多くは知りえているものではないでしょうか
  
  それでも質問をするのは、参考書や問題集にない答案です
  
  知りたいのは、考え方です
  
  from minamino

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/15 07:49

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  いつもお世話になっております。
  
  具体的にざっとで構いませんのでお示しいただけると幸いです
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/15 16:32

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  ご返信が遅くなりまして申し訳ございません。
  
  いつもお世話になっております。
  
  私も階差数列で考えてみましたが、導関数的に利用しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/17 09:40

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  ご回答ありがとうございます。
  
  増減表とまではいきませんが、符号には、注意しました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/17 09:44

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  ご回答ありがとうございます
  
  方針が私とは、かなりことまりますが、、、
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/17 09:47

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  答案です
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/17 09:50

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  是非とも
  貴殿の考え方を教えて下さい

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/17 10:13

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  ご丁寧にありがとうございます。
  
  少し道に逸れますが
  
  S(n)=│x-1│+│x-4│+│x-a│
  
  に於いても、階差数列をとって増減を調べることは正しいでしょうか？
  
  質問した問題は、絶対値の中身が等差数列をなしていましたので、、、、
  
  教えてください。
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/17 14:55

No.14 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/17 14:03

補足見ました。

S(n+1) - S(n) の正負で S(n) の増減を見る
方針は、それでよいと思います。
グラフは書かなくても、増減表でもよいかと思うのですが、
書くのならば、もう少ししっかり書いたほうがよいでしょう。

b(n) について：
|n| と |n-100| のグラフが書いてありますが、
どっちがどっちなのか説明がありません。
2本のグラフでなく、１本の W 字形のグラフにも見えそうです。
そのへんを判りやすく書くと同時に、
b(n) そのもののグラフも書いておいたほうがよいです。

S(n) について：
S(n) の最小値は b(n) の正負だけで決まるので、
グラフは b(n) だけでもよいと思いますが...
S(n) のグラフを書くなら書くで、
もう少ししっかり書いたほうがよいと思います。
その図では、n≦50, 51≦n の部分が直線に見えますが、
1≦n≦50, 51≦n≦100 の部分は直線ではないですよね？
n≦0, 101≦n の部分が直線であるだけに、
全部直線っぽく書くと、何かを誤解している疑いをかけられそうです。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/20 15:06

No.13 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/17 10:20

心にもないことを・・・┐(´∀｀)┌

No.12 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/17 10:07

ぐちゃぐちゃ、ごちゃごちゃ、して読む気にならない。

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/16 12:42

再考：

階差で考え方をgdgd説明するより、この程度なら
S を n の式で書き下してしまったほうが答案が簡潔かも。

S = Σ[k=1...100] ｜n-k｜.

｜n-k｜ は、n-k≧0 のとき n-k,
　　　　n-k<0 のとき -(n-k) だから、

n≦0 の場合：
S = Σ[k=1...100] -(n-k) = { (-n+1) + (-n+100) }・100/2 = 50(-2n+101)
≧ 5050.　等号成立は n=0 のとき。

1≦n≦100 の場合：
S = Σ[k=1...n] (n-k) + Σ[k=n+1...100] -(n-k)
= { (n-1) + 0 }・n/2 + { 1 + (-n+100) }・(100-n)/2
= n^2 - 101n + 5050
= (n - 50 - 1/2)^2 + 9999/4.
n は整数値なので、 S の最小値は n = 50, 51 のときで
S = 50^2 - 101・50 + 5050 = 2500.

n≧101 の場合：
S = Σ[k=1...100] (n-k) = { (n-1) + (n-100) }・100/2 = 50(2n-101)
≧ 5050.　等号成立は n=101 のとき。

以上より、
S の最小値は n = 50, n = 51 のときで 2500.

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/20 15:06

No.10 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/03/15 20:23

No6です

＞具体的にざっとで構いませんのでお示しいただけると幸いです

「Sの増減表をつくる」
というのは、ざっくりというと

100<nの場合は、すべての絶対値が外れるので、nが1増えるとSは１００増える
n<０の場合は、すべての絶対値の中身がマイナスなので、nが１減るとSは１００増える
あとは、どこで増減が変わるかを調べたら答えがみつかる

ということです。

No.9 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/15 18:48

#8について

n=k と無駄にわかりにくいことをしている。また n(=k) は
n≦1、n=2～99、n≧100
の場合分けを検討する必要アリ。

No.8 回答者： Arima01 回答日時： 2023/03/15 17:13

一般に、

x < 0のとき、| x | = -x
0<=xのとき、| x | = x

n=k (1<=k<=100) とすると、

S(1→k-1) = |n-1| + |n-2| + ... + |n-(k-1)|
　= k-1 + k-2 + ... + k-(k-1)
　= k-1 + k-2 + ... + 1
　= (k-1)k/2

S(k→100) = |n-k| + |n-(k+1)| + ... + |n-100|
　= -k+k + k+(k+1) + ... + -k+100
　= 0 + 1 + ... + 100-k
　= (100-k)(101-k)/2

となります、

S = S(1→k-1) + S(k→100)
　= k(k-1)/2 + (100-k)(101-k)/2
　= k*k/2 - k/2 + 10100/2 - 101k/2 - 100k/2 + k*k/2
　= k*k - 101k + 5050
　= (k-50)(k-51) + 2500

よって、n=50, 51で最小値は2500

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/15 14:00

S を数列と見て、階差数列の符号を調べる。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/20 15:07

No.6 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/03/15 09:03

＞貴殿の考え方を教えてください。

　Sの増減表をつくる
というのはいかが？

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/03/20 15:07

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/03/15 07:38

あなたの回答を述べたいのではないのですか?