教えて! goo のコンテンツに対する取り組みについて

【問題】
 n!が10^40(10の40乗)で割り切れるときの最小のnを求めよ。

【解答】
 10=2×5 であるからn!が10で40回割り切れるためには、
 n!が5で40回割り切れなければならない。
 また、そのときn!は2で40回割り切れる。
    n=5  のとき 5の倍数は 5÷5=1 (個)
    n=5^2  のとき 5の倍数は 25÷5=5 (個)
                25÷25=1 (個)
    n=5^3 のとき 5の倍数は 125÷5=25 (個)
               125÷25=5 (個)
               125÷125=1 (個)
 (25+5+1)+(5+1)+1+1+1=40 であるから、求める最小のnは
    5^3+5^2+5+5+5=165


解答の意味がよくわかりません。
5で40回、2で40回割り切れるのはわかるが
なぜ、n=5,5^2,5^3の場合だけやる?
n=2,2^2,2^3,・・・は考慮しなくてよい?
それに最後の結論の2行がまったく意味不明です。。

ご教授宜しくお願いします。

A 回答 (5件)

>なぜ、n=5,5^2,5^3の場合だけやる?


>n=2,2^2,2^3,・・・は考慮しなくてよい?
n!を素因数分解するとn≧5で,因数2の個数の方が因数5の個数に比べてはるかに多くなります。なのでn!(n≧5)に含まれる因数5の個数だけ考慮すれば、含まれる2の個数の方は遥かに多いので,5の方だけ考慮すれば十分なのです。
2は2つ置きの偶数に含まれ、5は5つごとの末尾の桁が5か0の数にしか含まれないため
n!=n(n-1)(n-2)…3*2*1
の因数の中に出現する2の個数の方が5の個数に比べ遥かに多いのです。

以下を含まれる2,5,10の個数だけに注目してみてください。
10^kを括り出すと2が過剰に残っているかと思います。
n=5の時
5!=2^3*3*5
(=10*2^2*3)

n=5^2=25の時
(5^2)!=2^22*3^10*5^6*7^3*11^2*13*17*19*23
(=10^6*2^16*3^10*7^3*11^2*13*17*19*23)

n=5^3=125の時
(5^3)!=2^119*3^59*5^31*7^19*11^12*13^9*17^7*19^6*23^5*29^4*31^4*37^3*41^3*43^2
*47^2*53^2*59^2*61^2*67*71*73*79*83*89*97*101*103*107*109*113
(=10^31*2^88*3^59*7^19*11^12*13^9*17^7*19^6*23^5*29^4*31^4*37^3*41^3*43^2*47^2
*53^2*59^2*61^2*67*71*73*79*83*89*97*101*103*107*109*113
ここまでで含まれる因数10^mは、10^1,10^6,10^31と急に増えていますね。
あと因数5を「40-31=9」個含むようにnを増加してやります。
n=125+5=130で因数5の個数が1増加します。
n=125+10=135で因数5の個数が1増加します。

因数5の個数を9個増やすには
n=125+5*9=125+45=170
とすれば良い様に見えますが、増やしたnの中に25の倍数が1個含まれる(n=150)ので
とその分nの値を調整(5だけ減らす)してやらないといけませんね。
つまりn=170-5=165

>それに最後の結論の2行がまったく意味不明です。
>(25+5+1)+(5+1)+1+1+1=40 であるから、求める最小のnは
>    5^3+5^2+5+5+5=165
(25+5+1)について
(5^3)!=125!に含まれる因数5の個数です。
 25は 125!に含まれる5の倍数の個数で125÷5=25から出した個数です。
    つまり、5,10,15,20,25,30, … ,120,125 の個数です。
    この中には 25=5^2の倍数, 125=5^3も含まれます。
    この分125!の中には25個より多い5が含まれます。
 +5は 125!に含まれる25の倍数の個数です。125÷25=5から出した個数です。
    つまり、25,50,75,100,125の5個で、これらは因数に5^2を持ちますので
    2個分として数えます。5の倍数で1個分カウント済みなので、ここでは
    25の倍数の個数分だけカウントします。この中には125=5^3が含まれています。
    因数5の個数を3とカウントしないといけません。ここまでで2個分カウント
   (5の倍数、25の倍数としてカウント)済みになります。
 +1は 125!に含まれる125=5^3の倍数の個数で1個です。125には因数の5が3個含まれます
    が,すでに5の倍数、25の倍数の個数で2個分カウント済みなので残り1個をカウント
    します。
 まとめると、(5^3)!=125! に含まれる因数5の個数は(25+5+1)=31個となります。

(5+1)について
残りの40-31=9個ですが。
 まず150!/125!=126*127* … *130までに含まれる5の個数を調べると
 5の倍数は
 150÷5 -125÷5=30-25=5個です。
この5個の中に25=5^2の倍数は
  150=5^2*2*3
 が含まれます。これば2個としてカウントすべきですが5の倍数でもあるので
 すでに1個分カウント済みなので1個分加えて
126~150までの積に含まれる5の個数は合計で(5+1)=6となるわけです。

「+1+1+1」について
残りの 40-(31+6)=3個分の5を加えるには
 因数として、因数として5を含む
  155,160,165(いずれも25=5^2を持たない)の3つの数を掛けて「165!」とすることで
「+1+1+1」と加えねばならない。
つまり、5^40を約数にもつ最小のn!は165!ということになる。

以上が「(25+5+1)+(5+1)+1+1+1=40」…(▲)の意味です。

これから最小のnは
>5^3+5^2+5+5+5=165
となります。

5^3=125の意味
n=125まででn!は31個の5を因数に持つということ(因数5の数31項) 

+5^2の意味
n=125に5^2=25加えればn=150でn!/125!の分で6個の因数5を増やせる(合計37個)。

+1+1+1の意味
n=150に5を3回加えたn=150+5*3=165でn!/150!の分で3個の因数5を増やせる(合計40個)

ということです。
    • good
    • 0

少しだけ設問を変えます。



問:mが125!のとき、mの末尾に0は幾つ並ぶか?

「0の並ぶ個数」ってことは10の何乗で割れるかってことです。

解き方もよく似ていて、因数5が何個でてくるかを数えます。

で、第1のご質問。「なぜ因数2の個数は数えなくてもいいか」

末尾に並ぶ0の個数は、2,5のうち、個数の「少ない方」に支配されます。

m=10で考えると、因数5は 5,10の2個、因数2は単純に考えて2,4,6,8,10の5個。しかも4からもう1個、さらに8から2個(2×2×2)出てくるので、8個も出てきます。

2×5を作ろうとすると、5の方が全然たりないのが分かります。mが大きくなってもこれは同じ。
だから2^2や2^3などは考えなくていい。


第2のご質問。

仮にn=125とすると、5の倍数が125÷5=25、25の倍数が125÷25=5、125の倍数が125÷125=1  で、25+5+1=31(個)

求めたいのは40個になるときだから、これでは9個足りない。
そこでnを25増やして125+25=150にしてみる。
1から数え直してもいいけど、せっかく31個数えたので、増やした分だけで考える。

5の倍数が25÷5=5、25の倍数が25÷25=1、125の倍数はない。
そこで 5+1=6  で、さっきの31個とたして37個でまだ足りない。

3個増やすために5×3だけ大きい 150+5×3=165

5の倍数が4個に満たなければいいので169でも40個になるだけど「最小のn」なので165 
    • good
    • 1

【改訂版】


打ち間違いがあったので再び失礼


n! の素因数に5が40個含まれるときが、求めるnです。

素因数として5が40個含まれるとき、2は必ず40個以上含まれますよね。
たとえば、
5! =1*2*3*4*5 = 1*2*3*(2*2)*5 ・・・5が1個、2が3個
10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 1*2*3*(2*2)*5*(2*3)*7*(2*2*2)*(3*3)*(2*5) ・・・5が2個、2が8個
n!がもっと大きくなっても素因数の個数は5より2のほうが沢山出てきます。
だから、2の素因数の個数を考慮しなくて良いのです。


n! = 25! のとき、素因数として5が何個含まれるかというと、
25! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25
25! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*(5*2)*11*12*13*14*(5*3)*16*17*18*19*(5*4)*21*22*23*24*(5*5)
だから、6個
25!は、1~25を掛けていくから、
1~25のうちの5の倍数の個数、たす、25の倍数の個数をしてやれば、素因数として5を何個含むかが出てきます。


n! = 125! のときは、1~125のうちの、
5の倍数の数+25の倍数の個数+125の倍数の個数=素因数として5を含む個数
となるから、
125÷5+125÷25+125÷125=31個

40個に近づいてきました

ところが、n! = 625!のとき、1~625のうちの、
5の倍数の数+25の倍数の個数+125の倍数の個数+625の倍数の個数=素因数として5を含む個数
だから、
625÷5+625÷25+625÷125+625÷625=156個
となり、40個をオーバーしてしまいます。
求めるnは最小のものだから、5が40含まれていればよいのです。


ここで、さっきのn! = 125! では5が31個だったので、ここから少しずつnを大きくすれば5が40個となるときが
すぐに見つかりそうですね。

nを少し大きくしてn! = 130! ではどうなるでしょう。
130! = 130*129*128*127*126*125! = (5*26)*129*128*127*126*125!
だから、32個になります。
135!なら33個
140!なら34個
145!なら35個
150!では?37個ですね。150は5*5*3だからです。
155!なら38個
160!なら39個
165!でついに40個です。

ここが【解答】の (25+5+1)+(5+1)+1+1+1=40 という式がでてくる部分にあたります

(25+5+1)は125!が含む5の個数
(5+1)は 126*127*・・・*150が含む5の個数
つまり150!は(25+5+1)+(5+1) = 37個の5を含みます。
あと3つ必要ですから
155!、160!、165!と微調整して40個ぴったりです
+1+1+1はnを5ずつ増やして5の個数を1個ずつ増やして40個に近づけていっているということですね。

よって
n = 5^3 = 125 のとき (25+5+1) = 31個
n = 5^3+5^2 = 150 のとき (25+5+1)+(5+1) = 37個
n = 5^3+5^2+5+5+5 = 165 のとき (25+5+1)+(5+1)+1+1+1 = 40個
    • good
    • 0

n! の素因数に5が40個含まれるときが、求めるnです。



素因数として5が40個含まれるとき、2は必ず40個含まれますよね。
たとえば、
5! =1*2*3*4*5 = 1*2*3*2*2*5 ・・・5が1個、2が3個
10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 1*2*3*2*2*5*2*3*7*2*2*2*3*3*2*5 ・・・5が2個、2が8個
n!がもっと大きくなっても素因数の個数は5より2のほうが沢山出てきます。
だから、2の素因数の個数を考慮しなくて良いのです。


n! = 25! のとき、素因数として5が何個含まれるかというと、
25! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19*20*21*22*23*24*25
25! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*(5*2)*11*12*13*14*(5*3)*16*17*18*19*(5*4)*21*22*23*24*(5*5)
だから、6個
25!は、1~25を掛けていくから、
1~25のうちの5の倍数の個数、たす、25の倍数の個数をしてやれば、素因数として5を何個含むかが出てきます。


n! = 125! のときは、1~125のうちの、
5の倍数の数+25の倍数の個数+125の倍数の個数=素因数として5を含む個数
となるから、
125÷5+125÷25+125÷125=31個

40個に近づいてきました

ところが、n! = 625!のとき、1~625のうちの、
5の倍数の数+25の倍数の個数+125の倍数の個数+625の倍数の個数=素因数として5を含む個数
だから、
625÷5+625÷25+625÷125+625÷625=156個
となり、40個をオーバーしてしまいます。
求めるnは最小のものだから、5が40含まれていればよいのです。


ここで、さっきのn! = 125! では5が31個だったので、ここから少しずつnを大きくすれば5が40個となるときが
すぐに見つかりそうですね。

nを少し大きくしてn! = 130! ではどうなるでしょう。
130! = 130*129*128*127*126*125! = (5*26)*129*128*127*126*125!
だから、32個になります。
135!なら33個
140!なら34個
145!なら35個
150!では?37個ですね。150は5*5*3だからです。
155!なら38個
160!なら39個
165!でついに40個です。

ここが【解答】の (25+5+1)+(5+1)+1+1+1=40 という式がでてくる部分にあたります

(25+5+1)は125!が含む5の個数
(5+1)は 126*127*・・・*150が含む5の個数
つまり150!は(25+5+1)+(5+1) = 37個の5を含みます。
あと3つ必要ですから
155!、160!、165!と微調整して40個ぴったりです
+1+1+1はnを5ずつ増やして5の個数を1個ずつ増やして40個に近づけていっているということですね。

よって
n = 5^3 = 125 のとき (25+5+1) = 31個
n = 5^3+5^2 = 150 のとき (25+5+1)+(5+1) = 37個
n = 5^3+5^2+5+5+5 = 165 のとき (25+5+1)+(5+1)+1+1+1 = 40個
    • good
    • 0

「また、そのときn!は2で40回割り切れる」はどうしてでしょう?



>最後の結論の2行がまったく意味不明
手計算でやっていったら、n=5^3 までで40個に達したから終わり、ってだけでは?
(条件を満たしたから)
NGだったらn=5^4も計算しただけのこと
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング