アルキメデスの公理について 任意の正の実数a,bについてna>bとなる自然数nが存在するというもので

アルキメデスの公理について
任意の正の実数a,bについてna>bとなる自然数nが存在するというものですがなぜnは自然数なのでしょうか
直感的には正の実数や正の有理数でも成り立ちそうですが

No.5 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/09/23 07:30

もちろん、nが正の実数や正の有理数でも成立する。

ポイントは、より条件をきつくして（条件をせばめて）自然数であっても成立するということ。

No.4 回答者： tsukita 回答日時： 2018/09/23 02:21

素朴に”どんな小さな定数でも「何回も」足し合わせればいつかはどんな大きな数も越えられる”という素朴な感覚から自然数としていると考えることもできます。

また、有理数の稠密性などの証明を行う際に「アルキメデスの原理」が利用され、その中で”最小元の存在”などを持ち出す必要があります。アルキメデスの原理のｎの部分が有理数や実数の場合、容易に最小元をとることができません。（※自然数の場合にも最小元をとることができるかどうかも、本来は厳密に議論する必要があります。）

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/09/21 12:12

元々の意味は、どんなに小さなa(正)であっても何倍かしたら、必ずbを超えられる。

と言う内容だから。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/09/21 10:56

{自然数}⊂｛正の有理数｝⊂｛正の実数｝

ですから、もちろん実数や有理数でも成り立ちます。
より狭い範囲で、なりたつということです。

No.1 回答者： lasato 回答日時： 2018/09/21 10:12

これは実数の性質を示すものであって、nは自然数で十分だからだと思います！