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(a+c)(a-c)=x
(d+b)(d-b)=x
とした時、xが成立する最小の自然数は15だというのはわかるのですが、それを証明する術を教えてください。

gooドクター

A 回答 (7件)

命題はつぎのように書けます。


 自然数xは、2通りの自然数の積で表せる。
 それぞれの積は、別の自然数の和と差で表せる。
 このような自然数xのうち最小のものは15である。

1から15までで考えればいいので、全部確認してもいいと思いますが、条件を絞っていきます。

No.1さんのいうように
 xは、奇数か、4の倍数 (1)
2通りの積で表せることから
 xは素数ではない   (2)
 xは素数の2乗ではない (3)
以上より、候補は8か15になります。
 8=8x1=4x2
 15=15x1=5x3
別の自然数の和と差の積であることから、
 x=奇数x奇数 または 偶数x偶数
になり、候補は15のみになります。
 実際に別の自然数の和と差の積で表せるか確認すると
(a,c,b,d)=(8,7,4,1)
となることがわかり、条件を満たす最小値は15であることが分かります。
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1と自分自身の絶対値以外に正の約数をもつ整数を、「合成数」といいます。


ですので、合成数が「奇数または4の倍数」であるとはかぎりません。
奇数でも4の倍数でもなく、しかも合成数であるものは、
15未満のものにかぎっても、6(=2*3),10(=2*5),14(=2*7)の三つを挙げることができます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/合成数
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参考程度に


(a+c)(a-c)=x
(d+b)(d-b)=x
a^2-c^2=x
d^2-b^2=x
a^2+b^2=c^2+d^2=z^2
これはピタゴラスの定理だから
同じ対角線長z(z^2が整数であればよい)の三角形のうちで自然数の組み合わせの2組を探すということですね。そうすると、8^2+1^2=7^2+4^2 が対角線長が同じ最小の2組の自然数の組み合わせ、
だからx=8^2-7^2=4^2-1^2=15 が最小。
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「キレる」証明という感じではないんですが、これを整数論の問題として解くなら、下記のようにするのが最善だと思います。



1)かりにa+c=b+dとすると(背理法の仮定)、問題の式より a-c=b-d。これらを連立してc,dを消去したらa=bとなって、「a,bが異なる」という条件を満たさない。したがって、a+c≠b+d。同様に、a-c≠b-d。
a,b,c,dのいずれも自然数であることから、a-c<a+c、b-d<b+cは明らか。
さらに、a+c<b+cと仮定したとき、a-c<b-cとすると、(a+c)(a-c)<(b+c)(b-c)となって問題文の条件を満たさない。したがって、a+c<b+cという仮定のもとでは、b-c<a-c。
以上より、a+c<b+cと仮定したときの各項の大小関係は、
(0<)b-d<a-c<a+c<b+d(あるいは、a-c<b-d<b+d<a+c)
となる。

2)a-c=s、b-d=tとおいて、問題文の式を整理すると、
x=s*(s+2c)=t*(t+2d)
となる。この式の各項の形式に着目すると、a-c(=s)が奇数のときはa+c(=s+2c)も奇数、偶数のときは偶数、ということがいえる(証明略)。b-cとb+dについても同様。
さらに奇数*奇数=奇数、偶数*偶数=偶数なので(証明略)、問題文の二つの式を満たすとき、b-d、a-c、a+c、b+dは、すべて奇数か、あるいはすべて偶数でなければならない。

3)r*s=q*t(ただし、0<t<s<r<qで、いずれも奇数またはいずれも偶数)という式が成り立つとき、各辺が最も小さくなる組合せは、(t,s,r,q)=(1,3,5,15)。
※最も小さい自然数は1で、しかもそれは奇数だから、奇数を小さいものから三つ並べ、r*s=q*tに代入すると15を算出できる。

4)3を問題文にあてはめると、xの値は15(x=5*3=15*1)。ここでもし、1,3,5,15の系列が問題文の条件を満たすならば、15がxの最小値ということになる。

5)b-d=1、a-c=3、a+c=5、b+d=15として、a,b,c,dを計算すると(連立方程式の問題)、a=4、c=1、b=8、d=7。いずれも自然数になるから、問題文の条件を満たす。

6)以上より、最小のxは15。
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こんにちわ~高3です。

できる範囲で考えました。

おそらくXはa+cとa-c、d+bとd-bの共通の最小公倍数で、a+cとa-c、d+bとd-bはそれぞれ互いに素であることを使うのではないかと。

途中まで解答を考えましたが、私の力ではこれ以上進めないので参考にでもなればと思います。

________________________
解答(途中まで)

(a+c)=A,
(a-c)=B
(d+b)=C
(d-b)=D とします。
ここで
AB=x
CD=x
が成立し、xが最小の自然数であるならば、
xはAとB、CとDの最小公倍数が等しいということである。
最小公倍数の性質からAとB、CとDは互いに素である…(1)

また、xが自然数であるからa>cかつd>b…(2)

(2)とa,b,c,dが異なる自然数という条件よりA,C≧3、B,D≧1
a,b,c,dが異なる自然数だから

また、明らかにA>B,C>DであるからAとCは最大公倍数で、
BとDは最小公倍数である…(3)


_________________________
ここで行き詰まりました^^;

『2つの自然数があるとき、その2つの
自然数の積は最大公約数と最小公倍数の積である』
というのがあるので、xを分解してx=αβにしてαが最大公約数、βが最小公倍数で考えてみるなんてことを試みましたがちょっと解ききれませんでした^^;

私にできるのはここまででした^_^;
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自信はまったくないので・・・



(1)(a+c)(a-c)=が最小自然数になる為には、
a>cでなければならない。

(2)(d+b)(d-b)=が最小の自然数になる為には、
d>bでなければならない。

aの自然数を決めるとcの組み合わせが
2-1
3-1
3-2
4-1
4-2
4-3
。。。
と続き
これを式であらわすと
a-1

自然数1つに対してa-1通りの組み合わせがわかる。
a-1通りを(a+c)(a-c)=x
に代入していくと
xも、a-1通りの答えがわかる。

同じように(d+b)(d-b)=x
はd-1通りの答えがわかる。
xも、d-1通りの答えがわかる。

(1)と(2)。
xは最小の自然数である。
abcdは異なる自然数を条件に入れると、
a-1通りの無限に続く変数と、d-1通りの無限に続く変数が、最小になるのは、15である

答えは15?
計算はしてません。
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xは合成数で、奇数または4の倍数でなければいけないので、



(a+c)(a-c)=x
(d+b)(d-b)=x
を満たす可能性があるxのうち15未満のものは4つ程度に絞られます(他の条件も考えれば、もっと絞れるが)。あとは、個別に

>(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)でa,b,c,dがそれぞれ異なる自然数
を満たすa,b,c,dがないことを示す。

なんていう方法もあります。
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