数学の問題

次の問題を詳しく説明付きで出来るだけ早く解説お願いします

a,b,c,dを自然数とする

･‪√‬a+‪√b分の1の有理化
･‪√‬a+‪√‬b+‪√‬c分の1の有理化
･‪√‬a+‪√‬b+‪√‬c+‪√‬d分の1の有理化

この3つです！

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/08 22:21

何言ってんのか判らない質問だが、

・1/(√‬a +‪ √b) の「分母の」有理化
・1/(√‬a +‪ √‬b +‪ √‬c) の「分母の」有理化
・1/(‪√‬a +‪ √‬b +‪ √‬c +‪ √‬d) の「分母の」有理化
の話かな？

まず、ひとつめについて、
(A + B)(A - B) = A² - B² を知っておくこと。
分子分母の両方に √a - √b を掛けても分数の値は変わらないから、
1/(√‬a +‪ √b) = (√‬a - √b)/( (√‬a + √b)(√‬a - √b) )
　　　　　　= (√‬a - √b)/( (√‬a)² - (√b)² )
　　　　　　= (√‬a - √b)/(a - b).
分母が有理数(ここでは、有理数の一種である整数)になっているね？

ふたつめも似たようなもので、一旦
1/(√‬a +‪ √‬b +‪ √‬c) = 1/( (√‬a +‪ √‬b) +‪ √‬c )
　　　　　　　　　= ((√‬a +‪ √‬b) - √‬c)/( ((√‬a +‪ √‬b) +‪ √‬c)((√‬a +‪ √‬b) - √‬c) )
　　　　　　　　　= (√‬a +‪ √‬b - √‬c)/( (√‬a +‪ √‬b)² - (√‬c)² )
　　　　　　　　　= (√‬a +‪ √‬b - √‬c)/( a +‪ 2(√a)(√‬b) + b - c )
　　　　　　　　　= (√‬a +‪ √‬b - √‬c)/( (a + b - c) + 2√(ab) )
とした後、もう一度 (A + B)(A - B) = A² - B² を使って
　　　　　　　　　= (√‬a +‪ √‬b - √‬c)((a + b - c) - 2√(ab))/( ((a + b - c) + 2√(ab))((a + b - c) - 2√(ab)) )
　　　　　　　　　= (√‬a +‪ √‬b - √‬c)(a + b - c - 2√(ab))/( (a + b - c)² - (2√(ab))² )
　　　　　　　　　= (√‬a +‪ √‬b - √‬c)(a + b - c - 2√(ab))/( (a + b - c)² - 4ab )
とすれば、分母が有理数になる。

あるいは、結論からいうと、
分子分母の両方に √‬a +‪ √‬b +‪ √‬c の各項の ± を入れ替えたもの
(3項あるので、2^3 - 1個ある)を全て掛けてしまってもいい。

みっつめも同様。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます！

お礼日時：2022/05/11 23:56