No.1ベストアンサー
- 回答日時:
何言ってんのか判らない質問だが、
・1/(√a + √b) の「分母の」有理化
・1/(√a + √b + √c) の「分母の」有理化
・1/(√a + √b + √c + √d) の「分母の」有理化
の話かな?
まず、ひとつめについて、
(A + B)(A - B) = A² - B² を知っておくこと。
分子分母の両方に √a - √b を掛けても分数の値は変わらないから、
1/(√a + √b) = (√a - √b)/( (√a + √b)(√a - √b) )
= (√a - √b)/( (√a)² - (√b)² )
= (√a - √b)/(a - b).
分母が有理数(ここでは、有理数の一種である整数)になっているね?
ふたつめも似たようなもので、一旦
1/(√a + √b + √c) = 1/( (√a + √b) + √c )
= ((√a + √b) - √c)/( ((√a + √b) + √c)((√a + √b) - √c) )
= (√a + √b - √c)/( (√a + √b)² - (√c)² )
= (√a + √b - √c)/( a + 2(√a)(√b) + b - c )
= (√a + √b - √c)/( (a + b - c) + 2√(ab) )
とした後、もう一度 (A + B)(A - B) = A² - B² を使って
= (√a + √b - √c)((a + b - c) - 2√(ab))/( ((a + b - c) + 2√(ab))((a + b - c) - 2√(ab)) )
= (√a + √b - √c)(a + b - c - 2√(ab))/( (a + b - c)² - (2√(ab))² )
= (√a + √b - √c)(a + b - c - 2√(ab))/( (a + b - c)² - 4ab )
とすれば、分母が有理数になる。
あるいは、結論からいうと、
分子分母の両方に √a + √b + √c の各項の ± を入れ替えたもの
(3項あるので、2^3 - 1個ある)を全て掛けてしまってもいい。
みっつめも同様。
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