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x > 0 のとき x + (1/x^2) の最小値を求めよ。


(相加)≧(相乗)の関係から

x + (1/x^2)
≧2√{ x ・ (1/x^2) }
=2√(1/x)  …*

等号成立は x = (1/x^2) から  x^3 = 1 ∴x = 1

x = 1 のとき最小となるので  * から最小値は 2


微分をしてもとめると正しい解答が得られるのですが,間違いの理由を自分なりにまとめられません。どなたか教えていただければありがたいです。
宜しくお願いします。

gooドクター

A 回答 (5件)

間違っている様子は、y=x+1/xx と y=√(1/x) の


グラフを書いてみれば解る。
y=x+1/xx は、右下がりの曲線 y=2√(1/x) に
x=1 で接するが、接点の右側では
y=2√(1/x) よりも緩やかな勾配で減少し、
その辺りに、唯一の極小値がある。
具体的な極小点は、A No.2 にあるとおり。
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この回答へのお礼

グラフからイメージができました。ありがとうございます。

お礼日時:2012/04/04 12:24

そうでもない。


相乗平均の式に変数が残ったとしても、
その式の値が最小になる条件が
相加平均≧相乗平均 の等号成立条件下に
成り立つならば、相加相乗平均の関係から
相加平均の最小値は求まる。
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この回答へのお礼

確かにその通りでした。ありがとうございます。

お礼日時:2012/04/04 12:25

x+(1/x^2)≥2√(1/x) は


1+(1/1^2)≥2√(1/1)
2+(1/2^2)≥2√(1/2)
3+(1/3^3)≥2√(1/3)
・・・・・・
のように各xについてそのような不等式が成り立つということしか述べていません。
例えばx=5/4としてみるとx+(1/x^2)=189/100<2 となり、最小値が2でないことは明らかです。

相加平均≥相乗平均  が最大、最小問題に使えるのは、いずれかがxに関係ない定数になるときです。
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この回答へのお礼

>>「相加平均≥相乗平均  が最大、最小問題に使えるのは、いずれかがxに関係ない定数になるときです」

参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時:2012/04/04 12:25

> x + (1/x^2)≧2√{ x ・ (1/x^2) }=2√(1/x)  …*



これはこの不等式が成立する、というだけで最小値とは何の関係もない。

正しくは、x + (1/x^2)=(x/2)+(x/2)+(1/x^2)≧3(3)√(1/4)。等号は x/2=x/2=1/x^2 の時。
相加平均・相乗平均の扱いは、便利ではあるが、慎重にしなければならない。
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この回答へのお礼

3つの項に分ければ最小値が求められるのですね。ありがとうございます。

お礼日時:2012/04/04 12:18

等号が成り立つときに, なぜ最小だといえるのですか?

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この回答へのお礼

確かにその通りでした。ありがとうございます。

お礼日時:2012/04/04 12:16

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