空間ベクトル

空間ベクトル

点A(3,1,2)、B(1,2,1)とxy平面上に動点Pがある。このとき、AP+PBの最小値を求めよ。

という問題の解き方を教えていただきたいです。

解説よろしくお願いします。

No.4 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/11/02 09:39

図形的に解くのも良いが、うまく解析的でも簡単に求められることを言っておく。

普通はP(x,y,0)とおくが、ここでは別の置き方をする。
P(2＋x,y＋(3/2),0)とおく。そうすると
|AP|=√{(x-1)^2＋(y＋1/2)^2＋4}
|PB|=√{(x＋1)^2＋(y-1/2)^2＋1}
で|AP|+|PB|の最小値を求める。その前に以下の式の最小性を考えることにする

　√{(x-1)^2＋(y＋1/2)^2}＋√{(x＋1)^2＋(y-1/2)^2}　・・・・・(#)

(#)における(x,y)は中心(1,-1/2)とする半径r1の円と中心(-1,1/2)とする半径r2の円
との交点である。つまりお互いに交点を持つ条件でr1＋r2の最小値は二つの円の中心との距離である。
つまり√5
したがって(#)の最小値は(x,y)=(0,0)で√5をとる。
これより|AP|+|PB|の最小値は(x,y)=(0,0)でとるはず。
だけど、No3と同じ値にならない。(もう一度再投稿する予定。あわてていたからどっか考え方ミスったな)

No.3 回答者： passport4000 回答日時： 2010/11/01 23:55

お答えします。

まず、『Bを対称移動させて、一直線のとき。』という解答はバツにされることがあります。
というのは、AとBの位置関係によっては対称移動の必要性がないこともあるからです。
無難に、A,BはZ成分が正であるから、とか入れておくといいでしょう。

(解答)
A.BはZ成分がせいであることを用いて考える。
Bをxy平面に対して対称移動させた点をB’とおくと、
OB'=(1,2.-1)
ここで、AP+PB＝AP+PB'であり、最短となるとき、A,P,B’は一直線上に並ぶ。
ゆえに、求める長さは√１４

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/11/01 23:53

　ＡＢとｘｙ平面が平行でない限り直線ＡＢとｘｙ平面は必ず交点を持つはずで、それは実数の解がある（実数の座標を持つ点Ｐが存在する）ということを意味します。

　もしＡ，Ｐ，Ｂ’が一直線状にあるときがＡＰ＋ＰＢの最小値を与えるのであればそれはＡＢ間の距離になります。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/11/01 22:53

ｘｙ平面に対してＢと対称の位置にある点Ｂ’（１，２、－１）を考えます。

ＢＰ＝Ｂ’Ｐなので、ＡＰ＋ＰＢ’の最小値を考えればいいことになります。ＡとＰ、Ｂ’がどういう位置関係の時、最短距離になるでしょうか？

この回答への補足

１直線上の時・・・でしょうか？
実数解ｋが出てくる問題でしょうか？自信ありませんが・・・

補足日時：2010/11/01 23:16