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y=(x-a)^2+2  (0≦x≦2)  の最小値を考える問題について

解答では
場合分けが
a<0
0≦a<2
2≦a


という3つの場合分けがされているのですが
この事に関して、この問題を載せている参考書の説明で

---------------------------------------------------------------------------

「(1) a<0のとき最小値 f(0)=a^2+2
(2) 0≦a<2のとき最小値 f(a)=2
(3) 2≦aのとき最小値 f(2)=a^2-4a+6

の場合分けで等号が付いていたり、付かなかったりするのには何か意味があるのか?
これははっきりいってどうでいい。
(1)と(2)の境界のa=0のとき、最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい。aは0なんだから。
同様に(2)と(3)の境界のa=2のとき、最小値をf(a)といってもf(2)といってもいい。aは2で同じだから。
だから場合分けするためにどちらかに等号はつけないといけないけれど、どちらに付けてもかまわない」

-----------------------------------------------------------------

と書かれているのですが
この説明の意味があまり理解することができません。
これは

aが0の時

y=(x-0)^2+2 (0≦x≦2)  となり、

このとき
最小値のx座標を
0として考えるか、aとして考えるか、どちらでも考えることが出来るので 
この0もしくはaの時の場合を

a<0のとき  f(0)=a^2+2 
0<a<2 のとき  f(a)=2 

のうちの
どちらに含んで考えるか、ということなのでしょうか?

頂点のx座標を0として考えるなら a≦0 、0<a<2
頂点のx座標をaとして考えるなら a<0 0≦a<2



ということが書いてあるのでしょうか?

頭が混乱してしまいますので出来れば
私の書いてる事をもとに、どの部分の考え方が間違っているか回答をくだされば助かります。

A 回答 (9件)

> a=0の時


> a<0 の数である-1、-2などと同じように a^2+2が最小値 となる

とか

> 0<a<2の値である1などと同じように 2が最小値 ともなるので

とかの文章の意味が、はっきり解らないのだけれど、
おそらく回答と同じことを言っているような気はします。

(1') a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2') a=0 のとき最小値は f(0)=2.
(3') 0<a<2 のとき最小値は f(a)=2.
(4') a=2 のとき最小値は f(2)=2.
(5') 2<a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.

と場合分けしたときの (1') と (2') が、

(1) a≦0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.

と書くと、まとめてひとつで書けてしまう。
どっちで書いても、内容は同じ …というだけの話です。

A No.5 にも書きましたが、端を場合分けの両方に入れて

(1) a≦0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) 0≦a≦2 のとき最小値は f(a)=2.
(3) 2≦a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.

とするスタイルは、私は個人的にむしろこっちのほうが好きだけれど、
塾などでは×と教えている所もあるから、試験等では使わないほうが
無難なんでしょう。きっと。
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この回答へのお礼

皆さまありがとうございました。

お礼日時:2013/10/26 18:09

場合わけの時、連続性を持たせた方が良い。

だから連続性があれば、イコールをどちらに付けても大丈夫。
「2次関数の問題の場合分けで理解できない事」の回答画像8
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> a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.


> の場合
> a=0の時と最小値が異なるので

異ならない
ってのが、A No.5 の趣旨なんですが…

(1) a≦0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) a=0 のとき最小値は f(0)=2.

a=0 での最小値は、f(0)=2 で一致してるでしょ?

この回答への補足

asuncionさん、alice_44さん、ありがとうございます。

あまりよく理解が出来ていませんでした。

a<0のときの最小値 f(0)= (a-0)^2+2 = a^2+2

0<a<2のときの最小値 f(a) (a-a)^2+2 =2


a=0の時
a<0 の数である-1、-2などと同じように a^2+2が最小値 となる

また

0<a<2の値である1などと同じように 2が最小値 ともなるので


境界のa=0のときは最小値をf(0)=a^2+2
といってもf(a)=2といってもいい。


どちらににいれてもいいので、

(1) a≦0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) 0<a≦2 のとき最小値は f(a)=2.
(3) 2<a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.


としてもいいし
両方に入れて

(1) a≦0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) 0≦a≦2 のとき最小値は f(a)=2.
(3) 2≦a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.

このように表すことも出来る


ということでしょうか?
何か間違ってる部分があれば指摘してください。
よろしくお願いします。

補足日時:2013/10/25 22:29
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>a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.


>の時にも等号を入れていい理由は何なのでしょうか?

a < 0 のとき、最小値はa^2 + 2
a = 0のとき、最小値はa^2 + 2 = 0^2 + 2 = 2

今回の問題の場合、a = 0, a = 2のところで
ちょうどつながっているので、等号をどちらに入れても
かまわない、ということです。
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考え方の問題ではなくて、結果的に



(1) a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) 0≦a<2 のとき最小値は f(a)=2.
(3) 2≦a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.
でも、

(1) a≦0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) 0<a≦2 のとき最小値は f(a)=2.
(3) 2<a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.
でも、

(1) a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) a=0 のとき最小値は f(0)=2.
(3) 0<a<2 のとき最小値は f(a)=2.
(4) a=2 のとき最小値は f(2)=2.
(5) 2<a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.
でも、

書いてある内容は一緒だ…ということです。
だから、どれで書いてもよいと。
書き方は、まだ他にも何通りもありますね。

私は、個人的に
(1) a≦0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) 0≦a≦2 のとき最小値は f(a)=2.
(3) 2≦a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.
とかでも、全く気にならない
(というか、むしろ好きな)んだけど、

採点者によっては、場合分けに重複があると
減点しちゃう人もいるから、そこは
かぶらないように書いといたほうが無難かな。

この回答への補足

alice_44 さんへの補足になりますが
皆さんありがとうございます。
皆さんの回答を読ませてもらいました。


a<0
0≦a<2
2≦a

というのが

分割して書けば

(1) a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.
(2) a=0 のとき最小値は f(0)=2.
(3) 0<a<2 のとき最小値は f(a)=2.
(4) a=2 のとき最小値は f(2)=2.
(5) 2<a のとき最小値は f(2)=(a-2)^2+2.

ということを表しているというのは理解できました。

しかし
(2)a=0のとき最小値は 2なので
(3)の0<a<2のとき最小値2 の所

に等号をいれることが出来るというのはわかるのですが

a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.

の場合
a=0の時と最小値が異なるので
a=0の時と等号を入れては駄目なのでは
と考えしまいます。

a<0 のとき最小値は f(0)=(a^2)+2.

の時にも等号を入れていい理由は何なのでしょうか?


よろしくお願いします。

補足日時:2013/10/25 20:23
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「(1) a<0のとき最小値 f(0)=a^2+2


(2) 0≦a<2のとき最小値 f(a)=2
(3) 2≦aのとき最小値 f(2)=a^2-4a+6

の場合分けで等号が付いていたり、付かなかったりするのには何か意味があるのか?
これははっきりいってどうでいい。
(1)と(2)の境界のa=0のとき、最小値はf(0)といってもf(a)といってもいい。aは0なんだから。
注 ここでa=0のとき、a^2+2=0^2+2=2となる。
同様に(2)と(3)の境界のa=2のとき、最小値をf(a)といってもf(2)といってもいい。aは2で同じだから。
注 同様にa=2のとき、f(2)=a^2-4a+6=4-8+6=2となります。
だから場合分けするためにどちらかに等号はつけないといけないけれど、どちらに付けてもかまわない」
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 こんにちは、



 この場合、グラフがx=1を軸として対称なので、詳しく言えば、

 a が次の五つの場合に分けます。

  (ア)a<o   (イ) a=0   (ウ)0<a<2   (エ)a=2   (オ)2<a

  ただ(イ)の場合には結果が、(ア)または(ウ)に a=0を含めた場合、
     (エ)の場合には結果が、(ウ)または(オ)に a=2を含めた場合

  なりますから

  つまり等号をいずれかに入れて「場合わけを減らす。」

 ことができると言うことです。


 あなたの考え方は、最小値の値の結果を論じているので、

 少し考え方が、的外れのようになっているのです。

 

  つまり書かれていることの本筋は、「(ア)から(オ)の5つの場合わけ」を

  次のどれかの「3つの場合わけ」にできる

  (ア)a≦o  (イ) 0<a<2    (ウ)2≦a

  (ア)a<o   (イ) 0≦a<2   (ウ)2≦a

  (ア)a≦o  (イ) 0<a≦2   (ウ)2<a

  (ア)a<o   (イ) 0≦a<2    (ウ)2<a


  と言う意味で、

  「等号はどちらにつけてもかまわない。」

  と説明しているわけです。

  つまりは、説明する手間を減らしていると言うだけのことです。


 ご自分ではこういう場合に、最初は丁寧に場合分けして答え、

 慣れてくれば省略する形をとられたらよいと思います。

 このような場合、

 場合わけが回答と違って多くても減点されることはありません。

 3つに分ける場合でも4通りの違った書き方になるのですからね。

 そのうちのどれが正しいと言うことはありません。
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質問の疑問点がいまひとつわからないのですが、


3つの範囲のどれに等号をつけるのかは自由です。

(1) a≦0のとき最小値 f(0)=a^2+2
(2) 0≦a≦2のとき最小値 f(a)=2
(3) 2≦aのとき最小値 f(2)=a^2-4a+6

というように全部に等号をつけても範囲に漏れは無いので
なんの問題もありません。a=2 の時は (2)の式で計算しても
よいし(3)の式で計算しても良いのです。

範囲の重なりが気持ち悪いなら何か適当な理由を決めて
分けてしまえばよいです。

例えば

0≦a≦2では極小点が定義域の範囲内なので必ず最小値は2になります。
極小点が定義域の左に出ると(a<0) x=0 で最小なので 最小値は a^2+2 です。
極小点が定義域の右に出ると(2<a) x=2 で最小なので 最小値は a^2 -4a + 6 です。

理由はなんでもかまいませんし、目をつぶってえいやでもかまいません。
範囲同士の境界では両方の式が同じ値になるので、何も心配する必要はないのです。
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(1) a<0のとき最小値 f(0)=a^2+2


(2) 0≦a<2のとき最小値 f(a)=2
(3) 2≦aのとき最小値 f(2)=a^2-4a+6

場合分けとしてa=2とa=0で分ける、これは分かりますよね。解答の計算は終了して、イザ答えを書く段階で、a=0はどうしよう?(1)に入れるか(2)に入れるか?この答えの書き方では(2)に入れてますね。説明文は「どちらでもいいよ」と言ってるだけです。図を書けばすぐ分かります。

境界値に関しては、この問題ではどちらでもOKですが必ず考えておく必要があります。といっても図を見てちょっと考えればすぐ分かります。
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