理系プラチカⅠAⅡB[三訂版]の大問10(3)の解答について 掲載されている別解が個人的に不正確に感

理系プラチカⅠAⅡB[三訂版]の大問10(3)の解答について

掲載されている別解が個人的に不正確に感じたため、皆さんの意見を頂戴したく、質問致しました。

大問10(3)
x≧0, y≧0 とし、√x+√y≦k√(x+y) がつねに成り立つような正の定数kのうちで、最小なものはいくらか。

[別解]
x≧0, y≧0 とするとき、
　√x+√y≦k√(x+y) ①
がつねに成り立つから、①で x=y=1 とおくと、
　2≦√2k
これより、√2≦k である

また、
　[√2√(x+y) ]^2-(√x+√y)^2
=2(x+y)-[x+y+2√(xy) ]
=(√x-√y)^2≧0

よって、
　(√x+√y)^2 < [√2√(x+y) ]^2
0≦√x+√y , 0≦√2√(x+y) であるから、
　√x+√y) < √2√(x+y)
よって、k= √2のとき①はつねに成り立つ

したがって、①がつねに成り立つような正の定数kの最小値は√2である


この別解について、確かに、k=√2が①をつねに成り立たせる値の1つであることは十分性まで示されていますが、√2が最小値である保証はどこでされてるのでしょうか？k<√2 のときに、①が成り立たないことを示す必要はないのでしょうか？

どなたかわかる方いらっしゃいましたら、教えていただけると幸いです

No.1 ベストアンサー 回答者： kairou 回答日時： 2021/03/16 18:49

「√2≦k」ならば、k の最小値は √2 で 良いのでは。

何で k<√2 を考えるのですか。
問題の式は √x+√y≦k√(x+y) で、＝ が付いてますよね。

この回答へのお礼

すみません、なんか変なこと考えてました！
ただ自分のモヤモヤとしては、x=y=1はどうやって思いつくのかなというのを伝えたかったです

お礼日時：2021/03/16 19:03

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/16 18:54

√2≦kが成立するkの最小値は√2だよ。