高校数学、予選決勝法

（問題）
実数ｘ,ｙがx≧ｙ≧２を満たして動くとき、f(x,y)=xy-a(x+y)の最小値がー９となるようaの値を定めることはできるか？

（解説）
自分でといた後解説を読むと、
解１、解２のどちらかが誤答であるとあり、
（解１）（自分と同じ考え方で、誤答例）
ｆをｙを固定してｆ（ｘ）＝(y-a)x-ayとおく。
（あ）y-a<0の場合、ｆ（ｘ）はいくらでも小さい値をとれるから不適。
（い）yーa≧０の場合ｆ（ｘ）の最小値はｆ（ｙ）＝(y-a)^2-a^2①
ここで、ｙを動かす。ｙが動く範囲はｙ≧２かつｙ≧aである。
（１）a≧２の時、ｙの動く範囲はy≧aであり、①の最小値はーa^2.
この最小値がー９となるのはa=3のとき
（２）a<2の時、ｙの動く範囲はy≧２であり、①の最小値は（2-a)^2-a^2＝４－４a
この最小値がー９となるのはa=13/4であるがこれはa<2を満たさない。
以上より、a=3とすれば最小値はー９．
→予選決勝法はあらゆる定数ｙについての最小値ｍｙを用意し、その中から優勝者を選ぶ方法である。
解１は一部のｍｙしか用意していない。
（い）の（１）でa=3とすると、ｙ≧３のとき、①の最小値はー９を意味し、a=-3はＯＫと結論づけている。つまり、a=3で２≦ｙ＜３のときー９より小さい値をとりえるかもしれず、a=3は不適になる可能性がある。
（疑問）
２≦ｙ＜３をとるというのがよくわかりません。場合分けにより、ｙはｙ≧a（＝３）を動くのではないのですか？
解１の方法がいけないという理由が全く分からないです。
（解２）（正解）
ｆ（ｘ）＝(y-a)x-ayのように定める。
（Ⅰ）a>2の場合特に２≦ｙ＜aを満たすように固定すると、ｆ（ｘ）はいくらでも小さくなるから不適。
（Ⅱ）a≦2のときはy-a≧０であるからｆ（ｘ）の最小値は①であり、①はｙ＝２のとき、最小値4-4aをとる。a≦２より、この最小値はー４以上であるから、この場合最小値はー９にはなりえない。
以上より、最小値がー９となるよう定めることはできない。
（疑問）
解１がただしいと思っているせいか解２はどのように考えて、解答を書いているのか（場合分けの仕方など）が全く分かりません。
どなたか教えていただけませんか。

質問者からの補足コメント

• 本問の解１では
  （あ）y-a≧０と（い）y-a<0と場合分けしていますが、
  f(x,y)定義域：x≧y≧2という関数の最小値を考える際に、aを定数として、
  （あ）ｙ-a≧０（い）y-a<0と、ｙのとる範囲を定義域の中で分けて、それぞれの最小値を考えているのではないのでしょうか？
  (あ)y-a<0となり得る場合、(い)y-a<0となり得ない場合とはどこが違うのでしょうか？
  問題でx≧y≧2としていますので、yはaの値にかかわらず2以上の値をとりうるというのもわかりません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/04/01 18:13

• 回答ありがとうございます。
  先ほど補足を書きましたが、もう少しで自分の理解、考えが出来上がりそうなので、その時に、もう一度補足させてください。

    補足日時：2015/04/01 20:47

• 自分で、解１、自分の解答を読み直して、いけないところはどこか？
  また、先生に頂いたアドバイスをもとに、考え方を固めました。
  （解１の問題点）
  （補題）ｙ＝（ｘ－１）＾２の最小値を求める際、
  （１）ｘ≧０では最小値は０、（２）では最小値は１だから全体では０．
  解１を（あ）２≦ｙ＜a（解答ではｙ＜aとなっていたが、定義域内で考えるから２≦ｙ＜aとした）
  （い）（１）ｙ≧a,a<2（２）y≧a、a≧２と分け、どこを考えているのかを領域で示した。
  （補題）の考え方と解１の大きな違いは（あ）（い）どちらも一部分での最小値しか考えていないということだ。
  補題のようにそれぞれ合わせて全体で考えようとしましたが、よくわかりませんでした。
  （できないのかもしれません）（続）

    補足日時：2015/04/01 22:19

• では、どうするべきかというと、
  ｆの係数にパラメーターが入っている場合は、定義域はいじらずに、あくまでも全体で考えるように努める。（定義域にパラメーターが入っている場合は場合分け）
  自分でそれに沿って解いたのですが、
  （解答）
  fについて、f（ｘ）＝（ｙ－a）ｘ－ayと考える。
  （ア）ｙ-a≧０となる⇔a≦２の時、
  ｆ（ｙ）＝（ｙ-a）＾２－a^2で最少。
  ｙを動かすと、ｆ（２）＝4-3aで最小であり、a≦２より、－４以上で、最小値はー９にはなりえない。
  （イ）y－a＜０となる⇔a>2の時、
  ｆ（ｘ）は、いくらでも小さくなるからｆの最小値は存在しない。
  ここで、解２の（Ⅰ）では２≦ｙ＜aを満たすように固定するとあるのですが、これはなぜこう固定しているのでしょうか？（できるだけ定義域には触れたくはないです）

    補足日時：2015/04/01 22:29

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2015/04/01 17:08

問題でx≧y≧2としていますので、yはaの値にかかわらず2以上の値をとり得ます。

a=3であってもy=2の値をとり得るのです。勝手にyの範囲を狭めてはいけません。yの変域は変えられないのです。

範囲を狭めるべきはyではなくaの方なのです。
つまり(あ)(い)は次のように書くべきなのです。
(あ)y-a<0となり得る場合
(い)y-a<0となり得ない場合

y-aの最小値は2-aですので
(あ)2-a<0 の場合
(い)2-a≧0の場合
と言い換えることができます。