数学の問題

長さLの線分を3つの部分に分けるとき、おのおのの長さの3乗の和が最小になるのはいつか。という問題なのですが解答に境界のx=0の時やy=0の時のf(x,y)の値も求めています。今回の問題ではx＞0,y＞0となっており、境界は含んでいないのでx=0の時を考えなくてもよいと思うのですが、どうなんでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/15 22:54

評価関数 f = x^3+y^3+(L-x-y)^3 はx,yについて連続関数なので、偏微分してみればx=y=L/3の時にfが極値になるとわかる。

もちろん、これが極小なのか極大なのかをチェックする必要がありますね。
　でも、それだけじゃ不足です。なぜなら、求められているのは「極小」ではなく、「最小」だから。
　例えばxについて考えますと、xは0＜x＜Lという範囲に限定されています（この条件は「長さLの線分を3つの部分に分ける」という表現に含意されている）。だから、その範囲の端っこで最小値になってたり（例えば x→0のときfが最小だったり）しないか、を確認する必要があります。そこで、x=0やx=Lの場合をチェックしてるんです。

　「 f(x) = x(x^2 - 1) (-3<x<3)の最小値は？」という例題を考えてみれば、「範囲の端っこで最小値になってたりしないか？」のチェックが重要だということが腑に落ちるんでは？