数B ベクトルについて質問です。 平面上に△ABCと点P、Qがあるとする。次の等式が成り立つ時、点P

数B ベクトルについて質問です。

平面上に△ABCと点P、Qがあるとする。次の等式が成り立つ時、点P、Qはどのような位置にあるか答えよ。

(1)3AP-AB-2AC=0 (ベクトルは割愛させていただきます)

(2)4AQ+BQ+2CQ=0 (ベクトル割愛)


(1)については、辺BCを2:1に内分と分かりました

(2)については、線分3:4に内分する位置
が答えなのですが、なぜ辺AP上に点Qがあるとわかるのかよくわかりません。

途中式に
ベクトルAQ=7分の3×3分のAB+2AC
という計算があるのですが、なぜ7分の3をかけるのでしょうか？


回答よろしくお願いしますm(_ _)m

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/06/28 22:32

点Aからの点A、B、C、P、Qへのベクトルを

a、b、c、p、qとすると
↑4AQ+↑BQ+2↑CQ=7q-4a-b-2c=0
q=(4a+b+2c)/7

(1)から p=(b+2c)/3→3p=b+2c なので

q=(4a+3p)/7

>ベクトルAQ=7分の3×3分のAB+2AC

書き方が酷いが
(3/7){(↑AB+2↑AC)/3}
という意味だろうか？

なんでこの形なのか知らないけど
合ってる。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/28 20:07

(1)

0 = 3AP - AB - 2AC
　= 3(OP - OA) - (OB - OA) - 2(OC - OA)
　= 3OP - OB - 2OC.
よって、 OP = (OB + 2OC)/3.
内分点公式より、 P は線分OB を 2：1 に内分する点ですね。

(2)
(1)と同様に、
0 = 4AQ + BQ + 2CQ
　= 4(OQ - OA) + (OQ - OB) + 2(OQ - OC)
　= 7OQ - 4OA - OB - 2OC
より OQ = (4OA + OB + 2OC)/7 です。
(1)の結果と見比べると、
OQ = (4OA + ３OP)/7 ですね。
この式も内分点公式の形をしており、
Q は線分AP を 3：4 に内分する点です。