空間のベクトル

【問】四面体ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡの中点を、それぞれＫ，Ｌ，Ｍ，Ｎとする。
（１）４点Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎは同じ平面上であることを示せ。
【自己見解】
２点を結んだ２組の線分が平行であれば、Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎは同じ平面上にあるので、
↑ＡＢ＝↑ｂ，↑ＡＣ＝↑ｃ，↑ＡＤ＝↑ｄとおく。
↑ＫＬ＝1/2（↑ｂ＋↑ｃ）－1/2↑ｂ
　　　＝1/2↑ｃ
↑ＮＭ＝1/2（↑ｃ＋↑ｄ）－1/2↑d
＝1/2↑ｃ
よって↑ＫＬ＝↑ＮＭより証明された。

でも答えとしてあっているでしょうか？
ヒントには↑ＫＬ＝↑ＫＭ－↑ＫＮ
を使うようにかいてあるのですがこれはどういう意味なのでしょうか・・・？

No.3 ベストアンサー 回答者： larme001 回答日時： 2006/11/29 00:48

平行であれば平面上にあるというのは、ねじれの位置などが曖昧ですので駄目な気がします。

ただ、↑KL=↑NMが証明されたなら（キチンと確認していませんが）,
これらの四つの点が同一平面上にあるための十分条件にはなっているとおもいます。ただ、これはあくまで特殊な場合でしょう。

どの様な点であれ、三次元空間で三点をとればそれらが平面を作ります。つまりK,L,M,Nのうちどれか三つをとればそれらは当然平面をとります。その上で残りの一つの点がその平面にあることを示めすのが普通のやり方だと思います。
この方法ですが、K,M,Nがつくる平面にLがある場合、この三点による平行出ない２つのベクトルの和（差）でLへのベクトルが表せるということです。たとえば、ヒント↑ＫＬ＝↑ＫＭ－↑ＫＮのように表されることで、Lは平面K,M,N上にあることが分かります。

一般に、平面K,M,Nにおける点Pは実数α、βを用いて
↑KP=α↑KM+β↑KN
で平面上のどの様な点Pも表せることが分かるでしょう。ここで、特に
α＋β＝１となる場合は
三角形KMNの辺MN上にPがあることを指すことは、よく使いますので覚えておきましょう。

以上のことを踏まえて考えてみればすぐわかるでしょう。

No.2 回答者： postro 回答日時： 2006/11/28 23:57

その答えであっています。

ただ、この場合、たまたま　↑ＫＬ＝↑ＮＭ　だったからその論法でもよかったのですが、
一般的には平行である必要はありません。
一般的には、０でない実数p,qを用いて　↑a=p↑b + q↑c ならば　↑a、↑b、↑c、は同じ平面上にあるといえます。
それでヒントには　↑ＫＬ＝↑ＫＭ－↑ＫＮ　と書いてあるのでしょう。
このヒントの式は、↑ＫＬ、↑ＫＭ、↑ＫＮ、が同じ平面上にある。すなわち　Ｋ、Ｌ、Ｍ、Ｎ、が同じ平面上にある
と言っているのです。

No.1 回答者： rtz 回答日時： 2006/11/28 23:54

正しいでしょう。

ただ、
＞２点を結んだ２組の線分が平行であれば、Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎは同じ平面上にある
に説明を求められる可能性もあるので、
↑KL＝↑NM、よってKLとNMは平行でありかつ長さが等しい。
つまり□KLMNは平行四辺形であるからKLMNは同一平面上にある、
とでもした方がいいかもしれません。

ヒントは↑KM＝↑KL＋↑KNと書き直してみます。
↑KLと↑KNで↑KMが表せたら、
↑KLと↑KNで作る平面上に↑KMがあることになり、
KLMNが同一平面上にあることになります。
それを使ってもいいですよ、ということではないでしょうか。