図形

△ABCの外心をO,重心をG、垂心をH,BCの中点をＭとすると
(1)AH=2OMであることを示す。
(2)O,G,Hは一直線状にあって、OG:GH=1:2であることを示す。
問題の２つについて教えてください。
数学1の平面図形を勉強してからこの問題に取り組んだのですが問題になるとわかりません。

〇△ABCの外心だから図は三角形の外周りに円がある図形。
〇重心は三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わり、比が1:2
〇垂心は三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる点
図はなんとか書けそうなのですが解き方が解りませんので、ご指摘宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： zarbon 回答日時： 2007/05/22 12:17

>BCの中点をＭとすると

BCの中点ではなく、OからBCへ下ろした垂線の足ではありませんか。

そうすると、以前私が別の質問で答えたものをここで示します。
OからBCへ下ろした垂線の足をL,
BOの延長線が△ABCの外接円と交わる点をDとする。
BDは外接円の直径で∠BAD=∠BCD=90°だから、DA⊥AB, DC⊥BC
また、CH⊥AB, AH⊥BCであることより、DA//CH, AH//DC.
よって四角形AHCDは平行四辺形であり、AH=DC…(1).
一方、△BDCにおいてOはBDの中点であり、OL//DCであるから、DC=2OL.
よって(1)よりAH=2OL.
ここで、OHとALの交点をPとすると、OL//AHから△AHP∽△LOP.
上述よりAH=2OLだから、相似比は2:1.
よってAP:PL=2:1となり、Pは重心となる。

以上から、外心・重心・垂心が一直線上にあってOG:GHが
1:2であることが示せました。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
中点連結定理をここでしようするんですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2007/05/22 14:42

No.3 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/05/22 13:56

＜オイラー線＞です。

あとでＬＩＮＫしますが、忘れたらＷＥＢ検索して下さい。
貴殿の好みのがあると、思います。
もともと＜オイラー線＞は＜初等幾何学＞で解いてあるので、
＜平面図形＞で充分に解けるはずです。
私には無理です。
他の方が、ある程度は説明してくれるとはおもいますが、はなはだ困難と思われます。
貴殿が以前にＶＥＣＴＯＲの質問した記憶がありません。
ベクトルが＜既知か未知＞かは不明です。
分数型漸化式を知っているのですから・・・
ベクトルが＜未知＞ならば無視して下さい。
ーーー
本来は＜初等幾何学＞で＜オイラー線＞を求める＜手順＞ですので、
ベクトルでは、＜オイラー線＞が先にでるため、(1)(2)の手順が逆転します。
説明も、深入りしません。
ベクトルは矢印をつけず、ｈ、ｇ、ａ、ｂ、ｃ、ｖＯＨ等で表記します。

○　ｇ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／３・・・証明省略
これは、原点は何処でも良いので、

○各ベクトルの原点を外心Ｏとします。（外心座標）
　　ｇ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）／３
　　ｈ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）・・・証明省略
両者から、ただちに
ｈ＝３ｇ　　これを図形的に見ると、
Ｏ、Ｇ、Ｈが一直線上にあり、ＯＧ：ＧＨ＝１：２　を表し　(2)が終了。
ーーー
(1)は最早示す必要はないが・・・

ＡＨ＝２ＯＭ
ｈ－ａ＝（ｂ＋ｃ）
ｈ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）
を示す事になります。
なるほど、・・・これが著名な式　ｈ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）の出所だったのですね。
証明もベクトル使用で、上記のとおり・・・証明省略
ーーー
ＶＥｃＴＯＲが既知であり、ＶＥＣＴＯＲでの証明でも良い。
その場合のみ詳説します。
＜初等幾何学＞の解法は一切判りません。
そうそうＵＲＬでした。

最初のＵＲＬはＷＩＫＩさんで、殆んどダメでしょう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4% …
次は綺麗ですがやはりダメかと、
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/im …
次も綺麗なだけ
http://www.shirakami.or.jp/~eichan/java/java55/e …
もっと＜証明＞のがあったはず・・・
次の中の　【寄せられた解答】をクリックすると、かなり出ます。
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/eulerl.htm

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
今は図形と関数について勉強しています。
今後ベクトルは近いうちに勉強しますので。
参考にしたいと思います。
どうもありがとうございます。

お礼日時：2007/05/22 14:45

No.2 回答者： noname#30874 回答日時： 2007/05/22 12:44

No1です。

余談ですが、O,G,Hが乗っている直線をオイラー線といいます。
オイラー線と関わりの深いものとして、「9点円」そして、
「Feuerbach(フォイエルバッハ)の定理」があります。
これらは幾何学の美しさの象徴とも言えるもので、とても感動させられます。ぜひ調べてみてくださいね。