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(1)正四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、辺BCを1:2に内分する点をQ、線分MQの中点をRとし、直線ORと平面ABCの交点をPとする。OR:OPを求めよ。

この問題なのですが、
解いていくとOR=1/4a+1/3b+1/6cという数字が出てきて
(そもそもここまでなんなのかもわかりませんが)
そこからどうにもこうにも進まなくなりました…
解き方が知りたいですm(__)m

(2)正四面体ABCDにおいて△BCDの重心をGとすると、AG(垂直)BCである。このことをベクトルを用いて証明せよ。

こっちも解説お願いします(;_;)

gooドクター

A 回答 (2件)

(1)


図を書けばわかるのですが、
Qが線分BC上の点なので、線分AQは平面ABC上にあり
また、平面OAQ上にもあります。
そしてMは線分OA上の点だから、線分MQは平面OAQ上にありしたがって
その上の点であるRも平面OAQ上の点です。
だから、この問題は、三角形OAQにおいて辺OAの中点Mと点Qとの中点Rに
Oから引いた直線ORが辺AQと交わる点を求め、それをPとする問題になります。

矢印は見にくいので、たとえばベクトルABはかっこでくくって(AB)とします。
すると条件より(OR)=(1/2){(OM)+(OQ)}だが、条件より(OM)=(1/2)(OA)なので、
(OR)=(1/2){(1/2)(OA)+(OQ)}、この両辺を4倍して、4(OR)=(OA)+2(OQ)
今、辺AQを2:1に内分する点をPとすれば、(OP)=(1/3){(OA)+2(OQ)}、より
(OA)+2(OQ)=3(OP)、したがって、4(OR)=3(OP)となります。
これから、(OP)=(4/3)(OR)、つまり、(OP)は(OR)の正数倍なのでPは
直線ORの点で、しかも線分OQ上にあるから、これが求める交点になります。そして、
OP=(4/3)ORより、OR:OP=3:4です。

(2)は(AG)=(1/3){(AB)+(AC)+(AD)}と(BC)=(AC)-(AB)の内積を計算します。
(AB)、(AC)、(AD)はそれぞれ大きさ同じで、たがいになす角が60°で同じなので
上の内積は0です。
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(1) これはベクトルを使っています。

ベクトルは分かりますよね?

>OR=1/4a+1/3b+1/6c

これは「OR = (1/4)a + (1/3)b + (1/6)c 」だと思いますが、各々の記号にベクトルの矢印は付いていませんか?

→OA = →a
→OB = →b
→OC = →c

とすれば

→OM = (1/2)→a
→OQ = →OB + (1/3)→BC
   = →OB + (1/3)( →OC - →OB )
   = →b + (1/3)→c - (1/3)→b
   = (2/3)→b + (1/3)→c   ①

よって
 →OR = →OM + →MR
   = →OM + (1/2)→MQ
   = →OM + (1/2)(→OQ - →OM)
   = →OM + (1/2)→OQ - (1/2)→OM
   = (1/2)→OM + (1/2)→OQ
   = (1/4)→a + (1/3)→b + (1/6)→c   ②

ここまでは分かりましたか?

あとは、同様にして →OP を求めます。
R も P も、三角形 OAQ の上にあるのは分かりますね? ちゃんと図を書いてね。
つまり、0<k<1 を適当な実数として
 →OP = →OA + →AP
   = →OA + k→AQ
   = →OA + k(→OQ - →OA)
   = (1 - k)→OA + k→OQ
   = (1 - k)→a + k[ (2/3)→b + (1/3)→c ]   ←①を代入

これが②の延長上なので、1<m を適当な実数として
  →OP = m→OR
と書ける。従って
  1 - k = (1/4)m
  (2/3)k = (1/3)m
  (1/3)k = (1/6)m
の関係が成り立たないといけない。
これより
  k = 2/3
  m = 4/3

この m が求める答えで、
  OR : OR = |→OR| : |→OP| = 1 : (4/3) = 3 : 4

(2) △BCDは正三角形なので、その重心を G とすれば
 →BG = (1/3)(→BC + →BD)   ③
です。分からなければ、自分でちゃんと確認しておいてください。
 →BC = →AC - →AB   ④
 →BD = →AD - →AB   ⑤
ですから、③に代入して
 →BG = (1/3)(→BC + →BD)
    = (1/3)( →AC - →AB + →AD - →AB)
    = (1/3)( →AC + →AD - →2AB)

従って
 →AG = →AB + →BG
    = →AB + (1/3)( →AC + →AD - →2AB)
    = (1/3)( →AB + →AC + →AD )   ⑥

ここで、BC の中点を N とすると
  →AN = (1/2)( →AB + →AC )
より
   →AB + →AC = 2→AN

  →BC ⊥ →AN

また、
  →AD = →AN + →ND

  →BC ⊥ →ND

以上より、⑥を変形すると
  →AG = (2/3)→AN + (1/3)(→AN + →ND)
     = →AN + (1/3)→ND    ⑦

⑦と →BC の内積を取ると
  (→AG)・(→BC) = (→AN + (1/3)→ND)・(→BC)
         = (→AN)・(→BC) + (1/3)(→ND)・(→BC)
ここで、→BC ⊥ →AN、→BC ⊥ →ND より
  (→AN)・(→BC) = 0
  (→ND)・(→BC) = 0
なので、
  (→AG)・(→BC) = 0

従って、→AG ⊥ →BC である。
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