ベクトル 至急！お願いします

平面上に, AB=3, BC=√7, CA=2である三角形ABCがあり, 点Pが,
↑AP・↑BP+↑BP・↑CP+↑CP・↑AP=0
を満たして動く.
(1)内積↑AB・↑ACの値を求めよ
(2)点Pはどのような図形を描くか
(3)内積↑AP・↑B
Cの最大値を求めよ

(1)は3と出たのですが(2),(3)がわかりません。解答解説よろしくお願い致します

質問者からの補足コメント

• (2)はできました。
  (3)は始点を揃えても ？ です…

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/25 16:44

• (2)できました！その通りに出ました。
  しかし(3)は始点を揃えてもわかりません…ヒントもらえないでしょうか

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/25 16:46

No.4 ベストアンサー 回答者： ji6 回答日時： 2017/08/27 18:56

すべてをベクトルで解く必要がなければ、3点に座標を設定して解くのが簡単です。

まず A(0,0),B(3,0) とします。
Cは(1)で多分 A=60°を求めていると思いますから、C(1,√3) とできます。
記述式の解答であれば、最初に「このように座標を設定しても題意を損なわない」と一言入れておきます。
(2)は、P(x,y)としてベクトルを成分で表し、内積を計算します。

(3)は、これも成分で内積を計算すると -2x+√3ｙとなります。

この値の最大値を考えよ、ですから -2x+√3ｙ=k…① とでも置きます。
この x,y は(2)で求めた 円の方程式…②を満たしています。

よって、②を満たす x,y について -2x+√3y のとる値の最大値を求めれば良い、ということになります。私の計算では、(√70-5)/3 となりました。

（※ベクトルの矢印は省略しました）
また、No.2 の方が触れておられるように、Pの中心は、△ABCの重心になっています。重心Gは定点、Pはその円周上の点なので、GPの大きさは一定、またGA，BCは定まったベクトルです。よって、「Gを始点にして内積を表す」をいう方針が思い浮かびます。そうすると

AP*BC=(GP-GA)*BC=GP*BC-GA*BC （* は内積の積りです）

GP*BCの値が最大になるのは？と考えても解けます。図が必要です。

頑張ってください。

No.5 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2017/08/30 14:14

Aを通り、BCに平行な直線をｍを引き、↑APと↑BCのなす角をθとおくと、

↑AP・↑BC=√7×AP×cosθ
AP×cosθは、Aから↑APを直線mにおろした垂線の足Hまでの長さAHなので
cosθ<0を考えると、垂線の足が最もAに近いとき最大になりそう

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/25 17:32

→AC・→BC=I AC I・I BC I cosθ

I BC I=√7 で一定だから、残りの要素で決まるが、
ー1≦cosθ≦1
√10/3 =1に近い
直径は、2√10/3=2に近い
つまり
cosθの角度よりも、長さが長い方が内積は大きいと考えられるので、
図を書くと、Aから一番遠い点の時、maxと言えないかい！
つまり、Aから、円の中心を通りその円周との交点が求める点だから後は計算しよう！

No.2 回答者： ohkinokomushi 回答日時： 2017/08/25 15:29

ABCの重心を中心とする半径(√10)/3の円?

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/25 13:22

(1)で内積が計算できたのだから、他の内積も計算できるはず！

→AP=→OPー→OA であることから、内積の計算できないかい！