![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
添付図は、正四面体を真上から見た図です。
中心のOは、すなわちHです(真上から見ているので)。三角形OAB、OBC、OCAは合同となります(正四面体の為)。
線分AOをBCまで伸ばした点をMとします。三角形OAB、OCAは合同であることから、角AOB、AOCは同じ角度です。従って三角形OBM、OCMも合同であることが分かります。
従ってBM=CMなので、Mは線分BCの中点と分かります。
以上で証明は終わりです。勉強の答え等の場合は、上記をきちんと理解した上で正式な記述で書けばO.K.と思います。
![「正四面体について垂線と中線が交わることの」の回答画像3](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/3/1221468_5497e851de5ce/M.jpg)
ご回答ありがとうございます。
正四面体を真上から見る、という発想は自分ひとりで考えた場合おそらく浮かばなかった方法だと思います。
もやもやがすっきり解決しました、ありがとうございます。
簡単な理屈で説明していただいたのでこちらをベストアンサーとさせていただきます。
No.2
- 回答日時:
ベクトルで考えて AH=tAM (t:実数、ベクトル表記は省略。
以下同様) であることを示せば良いと思います。正四面体の1辺の長さをaとすると、3つのベクトルOA,OB,OCのなす角は60°ですので、次の関係があります。
|OA|=|OB|=|OC|=a
OA・OB=OB・OC=OC・OA=a^2 cos60°=a^2/2
OH=pOA+qOB+rOC (p,q,rは実数)とおいてOHをOA,OB,OCだけで表します。
OH⊥AB,OH⊥BC から OH・AB=a^2/2 (q-p)=0, OH・BC=a^2/2 (r-q)=0
∴p=q=r=1/3
∴OH=p(OA+OB+OC)
また、|OH|は 点Oを原点とし3点A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a)とおくと、ABC平面の方程式はx+y+z-a=0 となります。このとき平面ABCと原点との距離は ヘッセの公式から |a|/√3=a/√3 と求められます。このことから、
|OH|=p√3=a/√3 ∴p=1/3
∴OH=(1/3)(OA+OB+OC)
ここから、AH=(2/3){-OA+(1/2)OB+(1/2)OC} と分かります。
他方、点Mは線分BCを1:1に内分する点ですので
AM=(1/2)AB+(1/2)AC=-OA+(1/2)OB+(1/2)OC
と書け、
AH=(2/3)AM
となりますので、点Hは中線AM上にあることが言えます。
ご回答ありがとうございます。
残念ながら当方はベクトルの理解までは進んでいないのですが、証明方法のひとつとして大変参考になります。
ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数検2級のの記述問題の際 正四面体の一つの頂点から底面に対して垂線を下ろしたとき、底面の重心と垂線の 3 2023/07/20 13:55
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- 数学 (1)の証明について、 頂点Aから中線を引いて証明をしていますが、 ∠Aの二等分線 ∠Aから辺BCに 6 2023/02/17 16:36
- 中学校受験 <平行四辺形>右の図で,へABCのCAの二等分線と辺BCとの交点をDとする。また,点Dを通り辺ABに 1 2023/03/09 20:43
- 数学 中1 数学 空間における平面と直線の問題です 2 2023/04/14 20:44
- 大学・短大 三角形ABCにおいてBCの中点をM、AB>=ACとする。この時AからBCに下ろした垂線とBCとの交点 1 2023/05/10 20:20
- 数学 数学の問題の解き方を教えて下さい。 ∠Aが直角の直角三角形ABCで、∠Bの二等分線と辺ACとの交点を 7 2022/05/06 21:52
- 高校 ーこのグラフにおいてー (問)Mを通る直線Lによって、平行四辺形OABCを2つの部分に分ける。この2 3 2022/04/10 14:24
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
- 数学 直角二等辺三角形についてです。 直角二等辺三角形ABCを(角A=90度)頂角Aから底辺BCに垂直に線 3 2023/06/05 23:05
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
外積、内積に使われる記号の読...
-
3次元空間内での線分の交差判...
-
数学の問題です 四面体OABCにお...
-
問) 四面体OABCの辺OAを1:2に内...
-
高校数学Bのベクトルの問題です...
-
【ベクトルの問題です】
-
数B ベクトルについて質問です...
-
ベクトルの図形の証明
-
台形 ベクトルの問題
-
高2 数学
-
なぜ内積の演算は整式の展開と...
-
面と線分のなす角度
-
ベクトルの問題です。お願いします
-
一次元(点、線)は2点、二次...
-
三角形の内部にある点のベクト...
-
正四面体について垂線と中線が...
-
空間のベクトル、平面上の条件
-
|a・b|=Re(a・b) について (...
-
ベクトル(正四面体)
-
ベクトルの問題です。
おすすめ情報