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3組の対辺が互いに垂直であるような四面体Vがある。このとき各辺の中点は、Vの重心を中心とするある1つの球面上にあることを示せ。

この問題を解こうと思っているのですが、何をやるのかが全く見えてきません・・・。
何の分野なのかも見当がつきません。
「対辺が互いに垂直」というのは四面体が直方体の中に描けるということなのでしょうか?
回答いただければ幸いです。
よろしくお願いいたします

gooドクター

A 回答 (2件)

はじめまして。



四面体とはつまりは三角錐のことです。今、O-ABCという四面体を考えたときに、線分OAと線分BCが垂直な関係にあるのが、”対辺が互いに垂直である”ということです。

また、対称性から、問題の設定している四面体が任意のものではなくある特別な四面体であることが推測されます。ここまでくれば、直感から命題が正しいことはわかりますので、直感ではなく論理だって証明するかを考えればよいでしょう。

がんばってください。
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このような考えはどうでしょうか?(参考までに)


文字ばかりで読みにくいかもしれませんが・・

四面体の頂点をO(0,0,0),A(a,0,0),B(b1,b2,0),C(c1,c2,c3)とする。
対辺が垂直なので、
(ベクトルOA)・(ベクトルBC)=0より、
 (a,0,0)・(c1-b1,c2-b2,c3)=a(c1-b1)=0・・・(1)
(ベクトルOB)・(ベクトルAC)=0より、
 (b1,b2,0)・(c1-a,c2,c3)=b1(c1-a)+b2c2=0・・・(2)
(ベクトルOC)・(ベクトルAB)=0より、
 (c1.c2.c3)・(b1-a,b2,0)=c1(b1-a)+c2b2=0・・・(3)
対辺の中点を結んだ線分の中点は3本とも一致し、それが四面体の
重心。(参考URLのページ中段付近、■単体のn次元幾何から、の
後半部分を参考に)
たとえば、OAの中点(a/2,0,0)とBCの中点((b1+c1)/2,(b2+c2)/2,c3/2)
を結んだ線分の中点は((a+b1+c1)/4,(b2+c2)/4,c3/4)
あとは、3組の対辺の中点を結んだ線分の長さを式で表し、最初の関係式
を利用すれば、すべて等しいことがいえそうです。

OAの中点(a/2,0,0)とBCの中点((b1+c1)/2,(b2+c2)/2,c3/2)でやってみる
と、(長さの2乗で計算)
((b1+c1-a)^2+(b2+c2)^2+c3^2)/4・・・☆
(1)式からb1=c1、(2)式からb2c2=-b1(c1-a)=-b1(b1-a)なので、☆は
{(2b1-a)^2+b2^2+c2^2-2b1(b1-a)+c3^2}/4
={(a^2+2b1^2-2ab1)+(b2^2+c2^2)+c3^2}/4
OCの中点(c1/2,c2/2,c3/2)とAB((a+b1)/2,b2/2,0)の中点では
((a+b1-c1)^2+(b2-c2)^2+c3^2)/4
=(a^2+(b2-c2)^2+c3^2)/4
=(a^2+b2^2+c2^2-2b2c2+c3^2)/4
={a^2+b2^2+c2^2+2b1(b1-a)+c3^2}/4
={(a^2+2b1^2-2ab1)+(b2^2+c2^2)+c3^2}/4
・・・・

参考URL:http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/kika …
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