教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

oを中心とする半径1の球面上にA,B,Cの3点が有り、線分AB,BC,CAの中点を
P,Q,Rとするとき、OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以下である
ことをしめせ。
ヘクトルで考えましたが、行き詰まりました。
OP,OQ,ORの長さがすべて1/2より大きいとして、矛盾を導こうとしました。
ベクトルをもちいて、ベクトルOAとベクトルOBのなす角は120°より大きいとなりました。
同様に、ベクトルOBとベクトルOCのなす角も、ベクトルOCとベクトルOAのなす角も
120°より大きいとなりました。
このあと、矛盾を導き出せません。どのようにすればいいのかよろしくおねがいします。

gooドクター

A 回答 (11件中1~10件)

座標を導入すると, ほぼ瞬殺なんですよ....


O(0, 0, 0), A(0, 0, 1) とします. で, (A が関係する) OP, OR はどちらも長さが 1/2 未満と仮定します. このとき B と C の z座標はどちらも -1/2 より小さくなり, したがってその中点である Q の z座標も -1/2 より小さい.
これだけ.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
球をイメージしながら、頭のなかで
考えてみましたが、
OP, OR はどちらも長さが 1/2 未満と仮定します. このとき B と C の z座標はどちらも -1/2 より小さくなり
の理由がよくわかりませんでした。

お礼日時:2010/11/11 12:25

「球の内部」?


その「球」って何?
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A の座標を (0, 0, 1) とします. OP の長さが 1/2未満のとき, OA と OB のなす角に条件がありますね.



OA と OB の内積を
・OA と OB のなす角から
・A と B の座標から
と 2通りで計算して, B の座標が満たすべき条件を導いてください.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
Bの座標が球の内部に存在しないことを示せれば
よいということですね。

お礼日時:2010/11/12 09:03

 中心角に注目したこんな解答はいかがでしょうか?


 一言で言えば、360°を3つの角で分割すると そのうちの少なくとも1つは120°以下になることからの証明です。


(1) ∠AOB+∠BOC+∠COA≦360° を示します。
  3点A,B,Cが球Oの大円上にある(4点A,B,C,Oが同一平面上にある)とき ∠AOB,∠BOC,∠COA で一周分ですので ∠AOB+∠BOC+∠COA=360° となります。
  点A,B,Cが球Oの大円上にないとき、4点O,A,B,Cを結んで作った図形は四面体になります。
  ここで、この四面体をO→A→B→Cと切り開いて展開したものを考えると、この展開図は立体を作るので ∠AOB+∠BOC+∠COA<360° であることが必要十分です。
  以上のことから ∠AOB+∠BOC+∠COA≦360° といえます。


(2) 線分の長さの問題を角度(中心角)の問題に置き換えます。
  線分OPの長さに着目しますと、OP≧1/2 となるのは ∠AOB≦120° のときです。
  このことは他のOQ,ORについても同様ですから、次のように問題を書き換えることができます。

  「OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上である」
 ⇔「∠AOB、∠BOC、∠COAのうち少なくとも1つは120°以下である」 ・・・・★


(3) 3つの中心角のうち少なくとも1つは120°以下になることを言います。
  (1)から∠AOB+∠BOC+∠COA≦360°ですので、∠AOB>120°だとしますと、 ∠BOC+∠COA<240° となります。さらに、∠BOC>120° だとしますと、∠COA<120° となります。
  このことは3つの中心角を入れ替えても同様ですから、3つの中心角のうち2つが120°より大きければ残りの1つの中心角は120°より小さいと言えます。
  これ以外のケースは、最初の1つの中心角が120°以下となるケースですが、このことは即ち ★ を満足します。
 以上のことから、3つの角度のうち少なくとも1つは120°以下になります。

(4) (3)によって★が成立することが示されましたので、「OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上である」が示されます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます
いろいろ考えてもらえてありがとうございます。
読みこなすのには力不足を実感しています。
点A,B,Cが球Oの大円上にないとき、4点O,A,B,Cを結んで作った図形は四面体になります。
  ここで、この四面体をO→A→B→Cと切り開いて展開したものを考えると、この展開図は立体を作るので ∠AOB+∠BOC+∠COA<360° であることが必要十分です。
ここの部分は感覚的には∠AOB+∠BOC+∠COA<360°とわかるのですが、厳密にというとよくわからないところです。
他の所もじっくりと考えないとと思っています。

お礼日時:2010/11/11 13:13

#4(#1)です。



長さの条件が逆だったのですね。

イメージしてみると、
「それぞれの辺の中点が半径 1/2の球の内側にあった場合には、半径 1の球に内接する三角形は作れない。」

という感じですね。
そして、三角形ABCは、半径 1の球の内側になってしまいそうですよね。


中点 P,Q,Rについて、OP, OQ, ORがともに 1/2よりも小さい
 ⇒ OA, OB, OCはともに 1よりも小さくなる

ということが示せればいいのでしょうけど、直接示すのは難しそうですね。^^;
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座標を導入していい?

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
座標での処理も歓迎です。
よろしくおねがいします。

お礼日時:2010/11/09 12:53

>1/2以下でなく、1/2以上でした。



もし、点A,B,C,Oが同一平面上にあれば、途中まで考えられたように、
OP,OQ,ORの長さがすべて1/2より小さいとすれば、
ベクトルOAとOB、OBとOC、OCとOAのなす角が120°より大きいことから矛盾となります。

点A,B,C,Oが同一平面上にない場合は、
三角形ABCの外心をSとし、外接円の半径をrとすると、
上記と同じ論法で、SP,SQ,SRのうち少なくとも1つは長さがr/2以上です。
その1つを例えばSPとすれば、
OSはABCを含む平面と直角ですから、
(OP)^2=(OS)^2+(SP)^2
≧1ーr^2+(r/2)^2=1-3r^2/4≧1/4 (∵r^2≦1)

∴OP≧1/2
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、解答をじっくりみればよくわかります。
自分で解答のように考えを進められるかは、難しいと思いました。

お礼日時:2010/11/09 12:51

#1です。



問題をよく読んでいませんでしたね。^^;
#2さん、#3さんの指摘のとおり、このままだと問題がおかしいですね。

少し図にしてみました。
端の方に近づくと、辺の中点と球の中心からの距離は 1/2より大きいどころか 1に近づきますね。
「oを中心とする半径1の球面上にA,B,C」の回答画像4
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この回答へのお礼

すみませんでした。
1/2以下でなく、1/2以上でした。

お礼日時:2010/11/09 08:22

なんかおかしいなぁ....


A, B, C のすべてが北極に非常に近いところにあるとすると P, Q, R も当然北極に近くなり, したがって中心 O からの距離は球の半径である 1 に近くすることができるような気がする....
「O を中心とする半径 1 の円周上」なら成り立つんだけど.
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この回答へのお礼

すみませんでした。
1/2以下でなく、1/2以上でした。

お礼日時:2010/11/09 08:19

問題おかしくない?



OP,OQ,ORのOって球の中心ですよね。

A,B,Cが接近していれば、OP,OQ,ORはほぼ1になるんだけど。
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この回答へのお礼

すみませんでした。
1/2以下でなく、1/2以上でした。

お礼日時:2010/11/09 08:20

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