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oを中心とする半径1の球面上にA,B,Cの3点が有り、線分AB,BC,CAの中点を
P,Q,Rとするとき、OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以下である
ことをしめせ。
ヘクトルで考えましたが、行き詰まりました。
OP,OQ,ORの長さがすべて1/2より大きいとして、矛盾を導こうとしました。
ベクトルをもちいて、ベクトルOAとベクトルOBのなす角は120°より大きいとなりました。
同様に、ベクトルOBとベクトルOCのなす角も、ベクトルOCとベクトルOAのなす角も
120°より大きいとなりました。
このあと、矛盾を導き出せません。どのようにすればいいのかよろしくおねがいします。

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A 回答 (11件中11~11件)

こんばんわ。



球面上の点とはいえ、お互いに結んでしまえば「ある平面内」での話になりますよね。
その平面が球の中心に対して、どのような位置にあるのかが違うだけです。

と考えれば、上の「ある平面」が「ある特殊な位置にあるとき」を考えれば、
その特殊な位置よりも上でも下でも、できる三角形はそれよりも小さくなるので、
辺の長さも短くなっているはずですね。

「ある特殊な位置」がわかれば、
平面上の円と内接する三角形の問題として扱うことができます。

おまけヒントをつけておくと、
OP= OQ= OR= 1/2となるときは「きれいな三角形」ができているはずです。
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この回答へのお礼

すみませんでした。
1/2以下でなく、「1/2以上」でした。

お礼日時:2010/11/09 08:18

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