空間のベクトル、平面上の条件

「正四面体OABCにおいてOA→＝a→、OB→＝b→、OC→＝c→とする。辺OAを４：３に内分する点をP、辺BCを５：３に内分する点をQとする。そのときPQ→を求めよ。また、線分PQの中点をRとし、直線ARが△OBCの定める平面と交わる点をSとする。そのときのAR:ASを求めよ。　　また、cos∠AOQを求めよ」
という問題です。
最初のPQ→＝－4/7a→＋3/8b→＋5/8c→と出せたんですが（あっているかは自信ありません）
次のAR:ASとcos∠AOQの求め方がわかりません。
平面上の条件（？）を使うのではないかと思ったんですが、どこでどのように使えばいいのかがよくわかりません。
回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： goodo 回答日時： 2005/01/23 22:12

PQはあっています。

その後の方法
(1)「線分PQの中点をR」より、PRを求める。
(2)(1)を利用し、ARを求める
(3)ASはARの延長線上にあるので、
AS=KARとし、ASを求める。（Kは実数）
(4)(3)のASの始点をOにかきかえ、OSを求める
(5)ここで、点Sは面ABC上にあるので、OAベクトルの係数はゼロになることより、(3)における実数Kを求める
(6)(5)において係数Kが求まることにより、問題のAR:ASが求まる

cos∠AOQの求め方
(1)正四面体の一辺の長さをXとする。│OA│=│OQ│=X^2
(2)ここで、正四面体OABCは正四面体よりそれぞれの面は正三角形であるので、角度は60度。より
内積はOA・OB=OA・OC=X^2/2
(3)以上よりcos∠AOQ=1/2

実際にやってみてください。

No.4 回答者： goodo 回答日時： 2005/01/23 23:20

♯2です。

│OQ│=X^2は間違いでした。
│OQ│は♯3様の方法、または、OQを二乗して求める方法をとってください。
混乱させてしまい申し訳ありません。

No.3 回答者： shkwta 回答日時： 2005/01/23 23:04

cos∠AOQは余弦定理で出ます。

三平方の定理により、AQ=OQ=(7/8)OA
あとは余弦定理で cos∠AOQ=4/7

前半部分は、No.1様のメネラウスの定理でも、No.2様のベクトル計算でもＯＫです。
メネラウスの定理の場合は
(PR/RQ)(QS/SO)(OA/AP)=1と(PQ/AP)(RA/SR)(QS/OQ)=1を組み合わせればよいと思います。

No.1 回答者： yob_yob 回答日時： 2005/01/23 21:03

自信なしですが・・。

AR:ASはメネラウスの定理でいけそうな気がします。
cosはメネラウスと余弦定理かな？
もし答えが分かっているなら教えて欲しいところです。