数学の問題がわかりません

数学の問題がわかりません

三角形OABの辺ＯＡ、ＯＢ（両端は除く）上に、それぞれ点Ｐ，Ｑがあり、
２ＯＰ・ＯＢ＋２ＯＱ・ＯＡ＝３ＯＡ・ＯＢ　　　　（←ちなみにすべてベクトルです）
を満たしながら動く時、三角形ＯＰＱの重心Ｇの動くことのできる範囲を図示せよ。

どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えてください。お願いします。

No.2 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/04/26 21:52

No1回答の(2)の補足です（訂正があります^^;）。

[訂正]
（誤）点J=OMの2:1内分点
（正）点J=IMの2:1内分点


[補足説明]
→OG=(→OP+→OQ)/3={2p/3→OA + (1-2p/3)→OB}/2
まではよろしいですか？

｛括弧}内は、s→OA+(1-s)→OBの形をしており、係数の和=s+(1-s)=1
なので、{括弧}内で表される点は、ABを(1-s):sに内分する点になります。
（正しくは「外分」も含みますが、0<=s<=1であれば「内分」のみです）

※当該内分点は、→OB+s→BA=→OB+s(→OA-→OB)=s→OA+(1-s)→OB



s=2p/3で0<p<1なので、0<s<2/3です。つまり、
・p=0即ちs=0とすると、当該点はBに一致
・p=1即ちs=2/3とすると、当該点はABの1:2内分点

{括弧}/2なので、
・p=0とすると、当該点は、OBの中点(点I)に一致
・p=1とすると、当該点は、OAの中点を点Mとして、MIの1:2内分点（点J）
になります。

以上から、0<p<1を動くときGは、線分IJ（但し両端を除く）を動きます。

No.1 回答者： aquatarku5 回答日時： 2010/04/26 06:25

→OP=p→OA、→OQ=q→OB　但し0<p,q<1　とおける。

制約条件より、
2(→OP・→OB) + 2(→OQ・→OA) - 3(→OA・→OB)
=(2p+2q-3)(→OA・→OB)=0

(1)→OA・→OB=0即ち∠AOB=90°のとき、
　p,qは任意（但し0<p,q<1）

　→OG=(→OP+→OQ)/3=(p→OA + q→OB)/3

　よって、Gの範囲は、OA、OBを一辺とする長方形の内部
　（境界を除く）。


(2)(1)以外のとき
　2p+2q-3=0（但し0<p,q<1）

　→OG=(→OP+→OQ)/3={2p/3→OA + (1-2p/3)→OB}/2

　よって、Gの範囲は、線分IJ（両端を除く）。
　但し、
　　点I=OBの中点
　　点J=OMの2:1内分点
　　点M=OAの中点
　

この回答への補足

(2)の場合をもう少し詳しく説明していただけますか？ちょっと理解できなかったので・・・

補足日時：2010/04/26 14:38