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No.5ベストアンサー
- 回答日時:
αが複素数でx,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0
そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。
∥・∥はノルムの次の要件を満たす。
αが複素数でx,y∈Hについて
(1)x≠0⇒0<∥x∥
(2)∥0∥=0
(3)∥α・x∥=|α|・∥x∥
(4)∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥
0≦∥∥y∥^2・x-<x,y>・y∥^2・・・(*)
すなわち
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は(*)式の右辺が0すなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき
従って
sup{|<x,y>| |0≦∥y∥≦1,x,y∈H}
=∥x∥・∥1∥=∥x∥
なおこの式はHがヒルベルト空間でなくても成立する。
内積の性質だけを使って導いたから当然でしょう。
内積が定義された集合であれば何でも良い。
No.4
- 回答日時:
釈迦に説法ですが内積の成立要件は
x,y,z∈Hについて複素数<x,y>が次の条件を満たすこと。
(1)<y,x>=/(<x,y>)
(2)<α・x,y>=α・<x,y>
(3)<x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(4)x≠0⇒0< <x,x>
(5)<0,0>=0
そして∥x∥≡√(<x,x>)と定義。
0≦∥y∥^2・(∥x∥^2・∥y∥^2-|<x,y>|^2)
より|<x,y>|≦∥x∥・∥y∥
等号は()内が0のときすなわち
αを複素数としてy=0またはx=α・yのとき
従って
sup{|<x,y>| |0<∥y∥≦1,x,y∈H}=∥x∥・∥1∥
No.3
- 回答日時:
ちょっと別解。
実は左辺はmaxになるので、<x,y>≦||x||||y||≦||x||
とy=x/||x||と置くと<x,y>=||x||^2/||x||=||x||となることからわかります。
x=0のときは別にする必要がありますが、そのときは明らかです。
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