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こんにちは。
問題
xy平面上に点A(2,3)をとり更に単位円x^2+y^2=1上に点P(x,y)をとる。また原点をO(オー)とする。2つのベクトル OA、OP(ベクトル)のなす角をθとするとき、内積OA×OP(ベクトル)をθのみであらわせ。また、実数x,yが条件x^2+y^2=1を満たすとき、2x+3yの最大値、最小値を求めよ。
答えは√13cosθと最大値√13,最小値-√13です。

わからないところは、最大最小を求めるところの回答に、2x+3y=内積OA×OP(ベクトル)=√13cosθ というところがあるのですが、なぜこのようになるのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (5件)

 先ず、内積の表し方ですが、「×」を用いると外積を表すことになり混同しやすいので、「・」(なかてん)を使われたほうがいいでしょう。



 さて、問題ですが、点Pは原点を中心とする単位円上にありますので、|OP|=1ですから、内積OA・OP(ベクトル)をθだけで表すと、次のようになります。

  OA・OP=|OA|・|OP|=√(2^2+3^3)・1・cosθ= √13cosθ

 次に、点Pの座標を(x,y)で表すことにしますと、内積は、次のように表すこともできます。

  OA・OP=(2,3)・(x,y)= 2x+3y

 この2つの式は表し方は違いますが、同じ内積ですので、

  2x+3y=√13cosθ

という関係にあることが分かるのです。
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No.3です。


ごめんなさい。
OA=(a,b),OB=(c,d)、∠AOB=θの時の内積は、
内積=ab+cd ではなく、内積=ac+bd です。
x成分、y成分のそれぞれの積の和です。。。。
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この回答へのお礼

まとめてのお礼ごめんなさい。
皆さんのお陰でよくわかりました^-^。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/06/24 17:39

まず、最初に注意を内積の場合はかならず“・”を使って下さい“×”の場合、内積ではなく外積(高校では習わない)の意味になってしまいますので。


さて、回答ですが内積の定義を確認します
a→・b→=abcosθ
a:a→の大きさ
b:b→の大きさ
θ:二つのベクトルの成す角
また、xy成分で表記すると、
(x,y)・(a,b)=xa+yb
となります。よって今回は
OA→・OP→=√13*1*cosθ
OA→・OP→=(2,3)・(x,y)=2x+3y
よって
2x+3y=√13cosθ 
となります。
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OA=(a,b),OB=(c,d)、∠AOB=θの時の内積は、


内積=|OA|・|OB|cosθ の他に、
内積=ab+cd  と言うのがあります。
教科書見てください。

この問題では、最初に"内積=|OA|・|OB|cosθ"によって内積を出させて、
次に、"2x+3y=内積=|OA|・|OB|cosθ"で、"2x+3y=√13cosθ"と言うのを出してますね。
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OAとOPの内積を成分で計算すればA(2,3),P(x,y)


なので、2x+3y です。
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