内積利用条件付最大最小問題

こんにちは。
問題
xy平面上に点A（２，３）をとり更に単位円x^2+y^2=1上に点P（x,y）をとる。また原点をO（オー）とする。２つのベクトル　OA、OP（ベクトル）のなす角をθとするとき、内積OA×OP（ベクトル）をθのみであらわせ。また、実数x,yが条件x^2+y^2=1を満たすとき、2x+3yの最大値、最小値を求めよ。
答えは√13cosθと最大値√13,最小値-√13です。

わからないところは、最大最小を求めるところの回答に、2x+3y＝内積OA×OP（ベクトル）＝√13cosθ　というところがあるのですが、なぜこのようになるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/24 13:20

　先ず、内積の表し方ですが、「×」を用いると外積を表すことになり混同しやすいので、「・」（なかてん)を使われたほうがいいでしょう。

　さて、問題ですが、点Ｐは原点を中心とする単位円上にありますので、|OP|＝１ですから、内積OA・OP（ベクトル）をθだけで表すと、次のようになります。

　　OA・OP＝|OA|・|OP|＝√(2^2+3^3)・1・cosθ＝　√13cosθ

　次に、点Ｐの座標を(x,y)で表すことにしますと、内積は、次のように表すこともできます。

　　OA・OP＝(2,3)・(x,y)＝　2x+3y

　この2つの式は表し方は違いますが、同じ内積ですので、

　　2x+3y＝√13cosθ

という関係にあることが分かるのです。

No.2 回答者： debut 回答日時： 2007/06/24 13:24

OAとOPの内積を成分で計算すればＡ(2,3),Ｐ(x,y)

なので、2x+3y です。

No.3 回答者： repobi 回答日時： 2007/06/24 13:27

OA=(a,b),OB=(c,d)、∠AOB=θの時の内積は、

内積=|OA|・|OB|cosθ の他に、
内積=ab+cd 　と言うのがあります。
教科書見てください。

この問題では、最初に"内積=|OA|・|OB|cosθ"によって内積を出させて、
次に、"2x+3y=内積=|OA|・|OB|cosθ"で、"2x+3y=√13cosθ"と言うのを出してますね。

No.4 回答者： T-gamma 回答日時： 2007/06/24 13:30

まず、最初に注意を内積の場合はかならず“・”を使って下さい“×”の場合、内積ではなく外積（高校では習わない）の意味になってしまいますので。

さて、回答ですが内積の定義を確認します
a→・b→＝abcosθ
a:a→の大きさ
b：b→の大きさ
θ：二つのベクトルの成す角
また、ｘｙ成分で表記すると、
(ｘ,y)・(a,b)＝xa+yb
となります。よって今回は
OA→・OP→＝√13*1*cosθ
OA→・OP→＝(２,３)・(ｘ,ｙ)＝2ｘ+3ｙ
よって
2x+3y＝√13cosθ　
となります。

No.5 回答者： repobi 回答日時： 2007/06/24 13:30

No.3です。

ごめんなさい。
OA=(a,b),OB=(c,d)、∠AOB=θの時の内積は、
内積=ab+cd ではなく、内積=ac+bd です。
x成分、y成分のそれぞれの積の和です。。。。

この回答へのお礼

まとめてのお礼ごめんなさい。
皆さんのお陰でよくわかりました＾－＾。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2007/06/24 17:39