四面体 ベクトル

四面体OABCの辺OA,AB,BC,COの中点をそれぞれD,E,F,Gとし、DFとEGの交点をHとする。
また、直線OHが⊿ABCと交わる点をIとする。
A,B,CのOに関する位置ベクトルをそれぞれa→,b→、ｃ→とするとき
(ＯＨ)→、(ＯＩ)→をa→,b→,c→であらわせ。

という問題で、

EH:HG=s:(1-s),DH:HF=t:(1-t)とおく
EG　(OH)→={(1-s)a→/2}+{(1-s)b→/2}+{s（c)→/2}
DH　(OH)→={(1-t)a→/2}+{t(b)→/2}+{t（c)→/2}

まで出来たのですが、
この先どうすればいいのかを教えてください。

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/10/02 15:49

＞四面体OABCの辺OA,AB,BC,COの中点をそれぞれD,E,F,Gとし、DFとEGの交点をHとする。

＞また、直線OHが⊿ABCと交わる点をIとする。
＞A,B,CのOに関する位置ベクトルをそれぞれa→,b→、ｃ→とするとき
＞(ＯＨ)→、(ＯＩ)→をa→,b→,c→であらわせ。
ＯＤ＝(1/2)ａ，ＯＦ＝(1/2)ｂ+(1/2)ｃ，ＯＧ＝(1/2)ｃ，ＯＥ＝（1/2)ａ＋(1/2)ｂ

＞EH:HG=s:(1-s),DH:HF=t:(1-t)とおく
ＯＨ＝（１－ｓ）ＯＥ＋ｓＯＧ
＝（１－ｓ）｛（1/2)ａ＋(1/2)ｂ｝＋(1/2)ｃ
＝(1/2)（１－ｓ）ａ＋(1/2)（１－ｓ）ｂ＋(1/2)ｃ……（１）
ＯＨ＝（１－ｔ）ＯＤ＋ｔＯＦ
＝（１－ｔ）(1/2)ａ＋ｔ｛(1/2)ｂ+(1/2)ｃ｝
＝(1/2)（１－ｔ）ａ＋(1/2)ｔｂ＋(1/2)ｔｃ……（２）
（１）（２）より係数比較すると、
(1/2)（１－ｓ）＝(1/2)（１－ｔ），(1/2)（１－ｓ）＝(1/2)ｔ，(1/2)ｓ＝(1/2)ｔ
連立で解くと、ｓ＝ｔ＝１／２
よって、ＯＨ＝（１／４）ａ＋（１／４）ｂ＋（１／４）ｃ

Ｏ，Ｈ，Ｉは一直線上にあるから、ＯＩ＝ｋＯＨ……（３）とおけるから、
ＯＩ＝(1/4)ｋ・ａ＋(1/4)ｋ・ｂ＋（1/4)ｋ・ｃ　……（４）
△ＡＢＣで、ＡＩの延長とＢＣの交点をＪとする。
ＢＪ：ＪＣ＝ｕ：（１－ｕ）とおくと、
Ａ，Ｉ，Ｊは一直線上にあるから、ＡＩ＝ｍＡＪとおける。
ＡＪ＝（１－ｕ）ＡＢ＋ｕＡＣ
＝（１－ｕ）（ｂ－ａ）＋ｕ（ｃ－ａ）
＝－ａ＋（１－ｕ）ｂ＋ｕｃだから、
ＡＩ＝ｍ｛－ａ＋（１－ｕ）ｂ＋ｕｃ｝より、
ＯＩ＝ＯＡ＋ｍ｛－ａ＋（１－ｕ）ｂ＋ｕｃ｝
＝（１－ｍ）ａ＋ｍ（１－ｕ）ｂ＋ｍｕｃ　……（５）
（４）（５）より、係数比較すると、
１－ｍ＝(1/4)ｋ，ｍ（１－ｕ）＝(1/4)ｋ，ｍｕ＝(1/4)ｋ
連立で解くと、ｋ＝４／３，ｍ＝２／３，ｕ＝１／２
よって、（３）より、
ＯＩ＝（４／３）ＯＨ＝（４／３）・｛（１／４）ａ＋（１／４）ｂ＋（１／４）ｃ｝
＝（１／３）ａ＋（１／３）ｂ＋（１／３）ｃ

でどうでしょうか？図を描いて確認してみて下さい。

No.1 回答者： suko22 回答日時： 2012/10/01 02:05

＞EH:HG=s:(1-s),DH:HF=t:(1-t)とおく

ベクトル記号省略します。
内分の公式より、
ＯＨ＝（1-ｓ）ＯＥ+ｓＯＧ
　
　ここでＡＥ：ＥＢ＝1：1なので、内分の公式よりＯＥ＝1/2ＯＡ+1/2ＯＢ
　またＯＧ：ＯＣ＝1：2より、ＯＧ＝1/2ＯＣ

これらをＯＨ＝に代入すると、
ＯＨ＝1/2（1-ｓ）ＯＡ+1/2（1-ｓ）ＯＢ+ｓ/2ＯＣ・・・※1

同じように内分の公式より、
ＯＨ＝（1-ｔ）ＯＤ+ｔＯＦ

　ここでＯＤ：ＯＡ＝1：2より、ＯＤ＝1/2ＯＡ
　またＢＦ：ＦＣ＝1：1なので、内分の公式よりＯＦ＝1/2ＯＢ+1/2ＯＣ

これらをＯＨ＝の式に代入すると、
ＯＨ＝1/2（1-ｔ）ＯＡ+1/2ｔＯＢ+1/2ｔＯＣ・・・※2

ＯＡ，ＯＢ，ＯＣは一次独立であるから、※１と※2より係数を比較して、
１／2（1-ｓ）＝1/2（1-ｔ）、1/2（1-ｓ）＝1/2ｔ、ｓ/2＝1/2ｔ

連立方程式を解くと、ｓ＝ｔ＝1/2

よって、※1にｓ＝1/2を代入して
ＯＨ＝1/4ＯＡ+1/4ＯＢ+1/4ＯＣ

点Ｏ，Ｈ，Ｉは一直線上にあるから、
実数ｋを用いて、
ＯＩ＝ｋＯＨ
　　＝1/4ｋＯＡ+1/4ｋＯＢ+1/4ｋＯＣ

点Ｉは△ＡＢＣ上の点だから
１/4ｋ+1/4ｋ+1/4ｋ＝1
ｋ＝4/3

よって、ＯＩ＝1/3ＯＡ+1/3ＯＢ+1/3ＯＣ

補足：ＯＡ＝a,ＯＢ＝ｂ、ＯＣ=cと置き換えてください。