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四面体OABCの辺OA,AB,BC,COの中点をそれぞれD,E,F,Gとし、DFとEGの交点をHとする。
また、直線OHが⊿ABCと交わる点をIとする。
A,B,CのOに関する位置ベクトルをそれぞれa→,b→、c→とするとき
(OH)→、(OI)→をa→,b→,c→であらわせ。

という問題で、

EH:HG=s:(1-s),DH:HF=t:(1-t)とおく
EG (OH)→={(1-s)a→/2}+{(1-s)b→/2}+{s(c)→/2}
DH (OH)→={(1-t)a→/2}+{t(b)→/2}+{t(c)→/2}

まで出来たのですが、
この先どうすればいいのかを教えてください。

gooドクター

A 回答 (2件)

>四面体OABCの辺OA,AB,BC,COの中点をそれぞれD,E,F,Gとし、DFとEGの交点をHとする。


>また、直線OHが⊿ABCと交わる点をIとする。
>A,B,CのOに関する位置ベクトルをそれぞれa→,b→、c→とするとき
>(OH)→、(OI)→をa→,b→,c→であらわせ。
OD=(1/2)a,OF=(1/2)b+(1/2)c,OG=(1/2)c,OE=(1/2)a+(1/2)b

>EH:HG=s:(1-s),DH:HF=t:(1-t)とおく
OH=(1-s)OE+sOG
=(1-s){(1/2)a+(1/2)b}+(1/2)c
=(1/2)(1-s)a+(1/2)(1-s)b+(1/2)c……(1)
OH=(1-t)OD+tOF
=(1-t)(1/2)a+t{(1/2)b+(1/2)c}
=(1/2)(1-t)a+(1/2)tb+(1/2)tc……(2)
(1)(2)より係数比較すると、
(1/2)(1-s)=(1/2)(1-t),(1/2)(1-s)=(1/2)t,(1/2)s=(1/2)t
連立で解くと、s=t=1/2
よって、OH=(1/4)a+(1/4)b+(1/4)c

O,H,Iは一直線上にあるから、OI=kOH……(3)とおけるから、
OI=(1/4)k・a+(1/4)k・b+(1/4)k・c ……(4)
△ABCで、AIの延長とBCの交点をJとする。
BJ:JC=u:(1-u)とおくと、
A,I,Jは一直線上にあるから、AI=mAJとおける。
AJ=(1-u)AB+uAC
=(1-u)(b-a)+u(c-a)
=-a+(1-u)b+ucだから、
AI=m{-a+(1-u)b+uc}より、
OI=OA+m{-a+(1-u)b+uc}
=(1-m)a+m(1-u)b+muc ……(5)
(4)(5)より、係数比較すると、
1-m=(1/4)k,m(1-u)=(1/4)k,mu=(1/4)k
連立で解くと、k=4/3,m=2/3,u=1/2
よって、(3)より、
OI=(4/3)OH=(4/3)・{(1/4)a+(1/4)b+(1/4)c}
=(1/3)a+(1/3)b+(1/3)c

でどうでしょうか?図を描いて確認してみて下さい。
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>EH:HG=s:(1-s),DH:HF=t:(1-t)とおく


ベクトル記号省略します。
内分の公式より、
OH=(1-s)OE+sOG
 
 ここでAE:EB=1:1なので、内分の公式よりOE=1/2OA+1/2OB
 またOG:OC=1:2より、OG=1/2OC

これらをOH=に代入すると、
OH=1/2(1-s)OA+1/2(1-s)OB+s/2OC・・・※1

同じように内分の公式より、
OH=(1-t)OD+tOF

 ここでOD:OA=1:2より、OD=1/2OA
 またBF:FC=1:1なので、内分の公式よりOF=1/2OB+1/2OC

これらをOH=の式に代入すると、
OH=1/2(1-t)OA+1/2tOB+1/2tOC・・・※2

OA,OB,OCは一次独立であるから、※1と※2より係数を比較して、
1/2(1-s)=1/2(1-t)、1/2(1-s)=1/2t、s/2=1/2t

連立方程式を解くと、s=t=1/2

よって、※1にs=1/2を代入して
OH=1/4OA+1/4OB+1/4OC

点O,H,Iは一直線上にあるから、
実数kを用いて、
OI=kOH
  =1/4kOA+1/4kOB+1/4kOC

点Iは△ABC上の点だから
1/4k+1/4k+1/4k=1
k=4/3

よって、OI=1/3OA+1/3OB+1/3OC

補足:OA=a,OB=b、OC=cと置き換えてください。
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