平面ベクトル

この問題で、
(1)は、
OP↑＝(2/3)b↑+(1/3)a↑
OQ↑=(2k/3)b↑+(k/3)a↑
(2)は、
ORはOB上より、
OR↑＝(1-t)OO↑+tOB↑
= tb↑
ORはAQ上より、
OR↑=(1-s)OA↑+sOQ↑
=(1-s+sk/3)a↑+(2sk/3)b↑
1-s+ks/3= 0 2ks/3= t より
t= 2k より
OR↑=2kb↑
(3)は、
三角形BRPと三角形BOAが相似の関係にあるので、
RP:OA＝１：２
三角形RQPと三角形QOAが相似の関係にあるので、
RP：OA＝1-k:k
1:2=1-k:kより
k=2/3

という答えが出たのですが、(1)以外全然違う答えでした。どこが間違えているのでしょうか。
ちなみに（２）と（３）の答えは
(2) OR↑=(2k/(3-k))b↑
(3) k=3/4
です。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/08/03 11:18

＞(1)は、

＞OP↑＝(2/3)b↑+(1/3)a↑
＞OQ↑=(2k/3)b↑+(k/3)a↑

はい、OKです。

＞(2)は、
＞ORはOB上より、
＞OR↑＝(1-t)OO↑+tOB↑
＞= tb↑　　　　　　　　　　　①

はい。

＞ORはAQ上より、
＞OR↑=(1-s)OA↑+sOQ↑

これが違いますね。
　OR = OA + AR = OA + pAQ　　（1<p)
ここで
　AQ = AO + OQ = OQ - OA = (2k/3)b + (k/3 - 1)a
ですから
　OR = a + p[(2k/3)b + (k/3 - 1)a]
　　　= [p(k/3 + 1) + 1]a + (2pk/3)b
これが①のように = tb になるので
　p(k/3 - 1) + 1 = 0　　　②
　2pk/3 = t　　　　　　　③

②より
　p = 1/(1 - ｋ/3)
よって③より
　t = 2k/[3(1 - ｋ/3)] = 2k/(3 - k)

従って、①より
　OR = [2k/(3 - k)]b

＞t= 2k より

どこからそんな結果になりましたか？

＞(3)は、
＞三角形BRPと三角形BOAが相似の関係にあるので、
＞RP:OA＝１：２
＞三角形RQPと三角形QOAが相似の関係にあるので、
＞RP：OA＝1-k:k
＞1:2=1-k:kより
＞k=2/3

ベクトルの問題なのだから、ベクトルで解きましょう。

PR = PO + OR = OR - OP　　　⑤

ここで、OR は上のように
　OR = [2k/(3 - k)]b
（従って、(2) が間違っていれば (3) は正しく答えられませんね）

また、
　OP = (1/3)a + (2/3)b
なので、⑤は

　PR = [2k/(3 - k)]b - [(1/3)a + (2/3)b]
　　= -(1/3)a + [2k/(3 - k) - 2/3]b

これが a と平行になるのだから、b の係数は =0 にならないといけない。
よって
　2k/(3 - k) - 2/3 = 0
→　3k = 3 - k
→　k = 3/4

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/03 16:50

「

OR↑=(1-s)OA↑+sOQ↑
=(1-s+sk/3)a↑+(2sk/3)b↑
1-s+ks/3= 0 2ks/3= t より
」まであっています
「
t= 2k より
」が間違いです

(1)は、
OP↑=(2/3)b↑+(1/3)a↑
OQ↑=(2k/3)b↑+(k/3)a↑
(2)は、
RはOB上の点より、
OR↑=(1-t)OO↑+tOB↑
= tb↑
RはAQ上の点より、
OR↑=(1-s)OA↑+sOQ↑
=(1-s+sk/3)a↑+(2sk/3)b↑

1-s+ks/3=0
↓両辺にs-ks/3を加えると
1=s-ks/3
1=s(1-k/3)
1=s(3-k)/3
↓両辺を(3-k)で割ると
1/(3-k)=s/3
↓これをt=2sk/3に代入すると
∴
t=2k/(3-k)

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2022/08/03 16:27

1-s+ks/3= 0 2ks/3= t 　まではあっている。

だからそのあとの計算ミスです。
あと
RP:OA＝１：２　とあるのは1：3　の間違いです。