青い下線部分、なぜ三角形ABCの外心だと、斜辺の中点が外心といえるのですか。

青い下線部分、なぜ三角形ABCの外心だと、斜辺の中点が外心といえるのですか。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/02 21:04

うん, そこは文章のロジックがおかしい.「ですから」が全く意味をなさない. H が△ABC の外心であろうとそうでなかろうと, 「直角三角形の斜辺の中点が外心と一致する」という事実は動かない.

「ですから」に続く文章が, 例えば
「H は△ABC の斜辺の中点である」
ならまともに繋がる.

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/02 16:34

Hが△ABCの外心だとすると

HA,HB,HCは外接円の半径だから等しい
|HA|=|HB|=|HC|

△HABの内角の和は180°だから
∠AHB+∠HBA+∠HAB=180°
△HABは2等辺3角形だから
∠HAB=∠HBA
だから
∠AHB+2∠HBA=180°

△HBCの内角の和は180°だから
∠BHC+∠HBC+∠HCB=180°
△HBCは2等辺3角形だから
∠HCB=∠HBC
だから
∠BHC+2∠HBC=180°

↓これを∠AHB+2∠HBA=180°に加えると

∠AHB+∠BHC+2(∠HBA+∠HBC)=360°

↓90°=∠HBA+∠HBC だから

∠AHB+∠BHC+2(90°)=360°
∠AHB+∠BHC+180°=360°
↓両辺から180°を引くと
∠AHB+∠BHC=180°
だから
A,H,C は1直線上の点だから
Hは線分AC上の点で
HA,HCは外接円の半径だから等しい
|HA|=|HC|
だから
Hは斜辺ACの中点

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/02 13:10

「半円」の円弧に対する「中心角」は180°（つまりその弦は直径）、「円周角」は 90° になります。

そちらが先にあって、従って
「直角三角形の斜辺は外円の直径」
「斜辺の中点が外心」
ということになります。

No.1 回答者： nobodyy 回答日時： 2024/03/02 12:12

＞なぜ三角形ABCの外心だと、斜辺の中点が外心といえるのですか

設問(2)＞AB=6､BC=8,CA=10
から∠ABC=90°な直角三角形だとわかる。
(∵6^2+8^2=10^2(というか 3:4:5)なので)

「直角三角形は斜辺を直径とする外心円を持つ」ので、
CAは直径だしHはその中点でもあります。

別の見方だと
円周角(∠ABC)が90°→ACが直径→HはACの中点
とも。