【三角形の問題】

三角形ABCにおいて、辺AB、BC、CAを
それぞれｍ：ｎに分割する点を順にD,E,Fとする。
ｍ、ｎを自然数として、

(1)三角形DEFの重心と三角形ABCの重心は一致することの証明

(2)どのようなｍ、ｎに対してもAE⊥DFとなるとき、
三角形ABCはどのような三角形か。

解ける方いますか…？
解説付きでお願いしますm(__)m

No.5 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/06/29 19:23

＞三角形ABCにおいて、辺AB、BC、CAを

＞それぞれｍ：ｎに分割する点を順にD,E,Fとする。
＞ｍ、ｎを自然数として、

ベクトルでやってみました。ＡＢベクトル、ＡＣベクトルで表すと、
ＡＤ＝（m/m+n）ＡＢ，ＡＦ＝(n/m+n）ＡＣ，ＡＥ＝（n/m+n）ＡＢ＋（m/m+n）ＡＣ
ＢＣの中点をＭとすると、ＡＭ＝（1/2)（ＡＢ＋ＡＣ）
＞(1)三角形DEFの重心と三角形ABCの重心は一致することの証明
△ＡＢＣの重心をＧ，△ＤＥＦの重心をＧ'とすると、
ＡＧ＝(2/3)ＡＭ
＝（2/3）・（1/2）（ＡＢ＋ＡＣ）
＝(1/3)（ＡＢ＋ＡＣ）
ＥＦの中点をＮとすると、ＤＮ＝(1/2)（ＤＥ＋ＤＦ）
ＤＧ'＝(2/3)ＤＮ
＝（2/3）(1/2)（ＤＥ＋ＤＦ）＝（1/3）（ＤＥ＋ＤＦ）
ＡＧ'－ＡＤ＝(1/3)（ＡＥ－ＡＤ＋ＡＦ－ＡＤ）
ＡＧ'＝(1/3)ＡＥ＋(1/3)ＡＦ－(2/3)ＡＤ＋ＡＤ
＝(1/3)（ＡＤ＋ＡＥ＋ＡＦ）
＝(1/3)｛（m/m+n）ＡＢ＋（n/m+n）ＡＢ＋（m/m+n）ＡＣ＋(n/m+n）ＡＣ｝
＝(1/3)（m+n)／(m+n）（ＡＢ＋ＡＣ）
＝(1/3)（ＡＢ＋ＡＣ）
よって、ＡＧ＝ＡＧ'より、重心は一致する。

＞(2)どのようなｍ、ｎに対してもAE⊥DFとなるとき、
＞三角形ABCはどのような三角形か。
m/(m+n)＝ａ，n/(m+n)＝ｂとおくと、
ＤＦ＝ＡＦ－ＡＤ＝－ａＡＢ＋ｂＡＣ，ＡＥ＝ｂＡＢ＋ａＡＣ
（ＡＥ・ＤＦ）＝（－ａＡＢ＋ｂＡＣ）・（ｂＡＢ＋ａＡＣ）
＝－ａｂ｜ＡＢ｜^2－ａ^2（ＡＢ・ＡＣ）＋ｂ^2（ＡＢ・Ａｃ）＋ａｂ｜ＡＣ｜^2
＝（｜ＡＣ｜^2－｜ＡＢ｜^2）ａｂ＋（ｂ^2－ａ^2）（ＡＢ・ＡＣ）
＝０
どのようなｍ，ｎに対しても成り立つためには、
｜ＡＣ｜^2－｜ＡＢ｜^2＝０，（ＡＢ・ＡＣ）＝０であれば良いから、
｜ＡＢ｜＝｜ＡＣ｜，ＡＢ⊥ＡＣ
よって、△ＡＢＣは、∠Ａ＝９０度の直角二等辺三角形

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/29 19:49

No.6です。

修正。/ 3 が抜けてました。

誤り ⇒三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c) = 三角形ABCの重心
正しい⇒三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c)/3 = 三角形ABCの重心

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/06/29 19:44

(1)A, B. C, D, E, F の座標を位置ベクトル a, b, c, d, e, f とすると

d = (na+mb)/(m+n), e=(nb+mc)/(m+n), f=(nc+ma)/(m+n)

三角形DEFの重心 = (d + e + f)/3 = (a+b+c) = 三角形ABCの重心

(2)
ベクトルAE = (n(b-a)+m(c-a))/(m+n)
ベクトルDF = (n(c-a)+m(a-b))/(m+n)

AE・DF = (n^2-m^2)(b-a)(c-a)/(m+n) + mn((a-b)^2-(c-a)^2)/(m+n) = 0

これが任意の m, n で成り立つには (b-a)(c-a)=0⇒ AB⊥AC
(a-b)^2-(c-a)^2 = 0 ⇒ ABの長さ = AC の長さ

つまり頂角Aが直角の2等辺三角形ですね。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/06/29 16:02

計算ミスはしてないが　うっかりミス。

三角形ＡＢＣ　は　ＢＣを斜辺とする“直角二等辺三角形”。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/06/29 15:50

書き込みミスと多分　計算ミス。

＞A(0、1)、B(-b、0)、C(c、0) 、b＜0、c＞0としても一般性を失わない。

b＞0　のミス。


＞直角に交わるから　傾きの積＝-1.計算して整理すると　(1-bc)m＾2-(b＾2-c＾2)mn-(1-bc)n＾2＝0
常に成立するから、全ての係数＝0.計算すると　a＝b＝c＝1。
つまり、正三角形の時。

a＝b＝c＝1の時は、二等辺三角形にしかならない。
方針は間違ってないはずだから、(2)の初めから　計算をチェックしてみて。
計算ミスは　日常茶飯事なんで。。。。ｗ

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/06/29 15:32

書き込みが　大変面倒なので　略解を書いとくから　答案の完成は自分でやって。

座標に持ち込んでしまえば、単純な計算問題に過ぎない。
A(0、1)、B(-b、0)、C(c、0) 、b＜0、c＞0としても一般性を失わない。

(1)ABCの重心は{(c-b)/3、1/3}。3点D、E、Fの座標は　Ｄ{-bm/(m+n)、n/(m+n)}、Ｅ{(cm-bn)/(m+n)、0}、Ｆ{cn/(m+n)、m/(m+n)}。
この3点の重心の座標を計算すると、{(c-b)/3、1/3}に一致する。

(2)
直線AEの傾き＝-(m+n)/(cm+bn)。直線DFの傾き＝(n-m)/(bm-cn)
これが直角に交わるから　傾きの積＝-1.計算して整理すると　(1-bc)m＾2-(b＾2-c＾2)mn-(1-bc)n＾2＝0
常に成立するから、全ての係数＝0.計算すると　a＝b＝c＝1。
つまり、正三角形の時。

No.1 回答者： chie65535 回答日時： 2012/06/29 13:58

直感で(2)だけ。

たぶん、∠Aが直角な直角二等辺三角形だと思う。

直感なので「解いて」はいません。