高校数学です。 底面の半径1,高さhの直円錐を,頂点を通る平面で切る。その断面である三角形の面積の

高校数学です。

底面の半径1,高さhの直円錐を,頂点を通る平面で切る。その断面である三角形の面積の最大値を求めよ。


という問題です。どうやって解くのか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： tantanmm 回答日時： 2016/10/09 18:37

底面の中心Oからのズレをa とします．

aと頂点を通って，O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります．
aの値を0～1まで動かして，面積の最大値を求めればよい．

切断面も常に三角形なので，
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の２次式なので，その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 + ((h^2+1)/2)^2 ) <ここまですべて平方根の中です>

したがって，a^2= -(h^2-1)/2 =(1-h^2)/2 のとき，すなわちa=√(1-h^2)のとき
最大値 (h^2+1)/2
ただし，これはh<=1 の場合

h>1の場合は，a=0のとき最大でS= h

この回答へのお礼

ありがとうございました。
すごく丁寧で助かりました。

お礼日時：2016/10/12 21:42

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2016/10/09 15:19

頂点角度が必要です。

底面の垂線に対するその切断角度の最大値は、頂点角度の1/2になります。
その、切断角度と円錐高さから、切断された底面の中心距離を計算します。
これは、円錐高さに、切断角度の正接を乗じた値になります。
そこから底辺の円を切断した部分の長さ(切断斜面三角形の底辺)が計算できます。
切断斜面三角形の高さは、円錐高さを、切断角度の正弦で除した値になります。