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青い下線部分、なぜ三角形ABCの外心だと、斜辺の中点が外心といえるのですか。

「青い下線部分、なぜ三角形ABCの外心だと」の質問画像

A 回答 (4件)

>なぜ三角形ABCの外心だと、斜辺の中点が外心といえるのですか



設問(2)>AB=6、BC=8,CA=10
から∠ABC=90°な直角三角形だとわかる。
(∵6^2+8^2=10^2(というか 3:4:5)なので)

「直角三角形は斜辺を直径とする外心円を持つ」ので、
CAは直径だしHはその中点でもあります。

別の見方だと
円周角(∠ABC)が90°→ACが直径→HはACの中点
とも。
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「半円」の円弧に対する「中心角」は180°(つまりその弦は直径)、「円周角」は 90° になります。



そちらが先にあって、従って
「直角三角形の斜辺は外円の直径」
「斜辺の中点が外心」
ということになります。
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Hが△ABCの外心だとすると


HA,HB,HCは外接円の半径だから等しい
|HA|=|HB|=|HC|

△HABの内角の和は180°だから
∠AHB+∠HBA+∠HAB=180°
△HABは2等辺3角形だから
∠HAB=∠HBA
だから
∠AHB+2∠HBA=180°

△HBCの内角の和は180°だから
∠BHC+∠HBC+∠HCB=180°
△HBCは2等辺3角形だから
∠HCB=∠HBC
だから
∠BHC+2∠HBC=180°

↓これを∠AHB+2∠HBA=180°に加えると

∠AHB+∠BHC+2(∠HBA+∠HBC)=360°

↓90°=∠HBA+∠HBC だから

∠AHB+∠BHC+2(90°)=360°
∠AHB+∠BHC+180°=360°
↓両辺から180°を引くと
∠AHB+∠BHC=180°
だから
A,H,C は1直線上の点だから
Hは線分AC上の点で
HA,HCは外接円の半径だから等しい
|HA|=|HC|
だから
Hは斜辺ACの中点
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うん, そこは文章のロジックがおかしい.「ですから」が全く意味をなさない. H が△ABC の外心であろうとそうでなかろうと, 「直角三角形の斜辺の中点が外心と一致する」という事実は動かない.



「ですから」に続く文章が, 例えば
「H は△ABC の斜辺の中点である」
ならまともに繋がる.
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