三角形の合同条件はなぜ３つ？

こんばんは。

初歩的な質問ですみません。
というのも、三角形の合同条件は３つですが、なぜ３つなのでしょうか？？


分かる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： tornader 回答日時： 2005/02/03 12:19

図形における合同の定義は、

「平行移動・回転・裏返しという３つの運動のみによって重なる２つの図形A、Bがあれば、このA、Bは合同である」
ということであったと思います。

三角形においては、
“３つの運動のみによって重なること”と
“三つの辺がすべて等しく、三つの角もすべて等しい”ということは同じ意味をもちます。つまり、三角形が合同であるためには三つの辺がすべて等しく、三つの角もすべて等しいことを示せばよいのです。

しかし、ご存知のとおり実際にはすべての辺とすべての角を調べる必要はありません。なぜなら、三つの辺がきまれば内角は一通りにしかならず、二つの辺とその間の角が決まれば残りの辺の長さも一通りで、一つの辺とその両側の角が決まれば残りの二辺も一通りに決まってしまうからです。

現在、数学の教科書に載っているような合同条件は本来の合同条件を分かりやすくかいたもので、定義ではありません。そもそも三角形には三つの辺と三つの角があり、それらにおける組み合わせをすべて考えて検証した結果、今の３つの合同条件が導き出されたのではないかということです。例えば三つの角がすべて等しい２つの三角形は合同にはなりません。それは必ずしも重なる三角形ではないからです。他にも二つの辺とその間でない角・・・というように考えていけば定義をみたさない三角形が存在することが分かりますので、結局定義をみたすものは３つしか存在しなかったということではないでしょうか。

この回答へのお礼

丁寧なご説明、ありがとうございます。
納得することができました。
ちなみに、この合同条件を証明するためには三角関数（sinなどをつかったもの）をつかうのでしょうか…。

お礼日時：2005/02/03 16:16

No.4 回答者： tornader 回答日時： 2005/02/03 23:50

No.3です。

図形の合同という概念は、平面ユークリッド幾何での話なので三角関数とはあまり関係ありません。

三辺相等を例に挙げれば・・・
２つの異なる点A,Bをとり、A,Bをそれぞれ中心として円をかきます。このとき線分ABの長さよりも２つの円の半径の和が長くなるようにします。すると、線分ABの上下にひとつずつ円の交点ができますよね。それをC,Dとすれば線分ABを共有する２つの三角形ABC、ABDをつくることができます。ABの中点を中心にして三角形ABDを180度回転させれば２つの三角形は重なりますので、合同であるといえます。つまり三辺の長さを一定にすれば三角形は１通りに決まるというわけです。

No.2 回答者： matherlake 回答日時： 2005/02/03 08:00

何人かの人たちに三角形を書いてもらうとします。

全員が同じ三角形を描くには（このとき合同な三角形ができます）、どういう条件を出せばいいのでしょう

三角形には、辺の長さが３つ、角の大きさが３つありますが、同じ三角形が描けるのが、ご存知の合同条件なのです。

たまたま条件が３つ必要であり、たまたま合同条件は３通りなのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます★

お礼日時：2005/02/03 16:13

No.1 回答者： acacia7 回答日時： 2005/02/03 01:59

なんかよさげなサイトを紹介しときます。

みてみれ。

大まかなイメージだけいうとするならば・・
点の自由度は平面状には縦と横の２つある。
三角形を構成する頂点の数は３つ。
だから、三角形を構成する自由度が６つあるってこと。

ところが合同である三角形の位置や方向は自由。

位置＜２自由度、方向は１自由度
よって、６つの変数のうち３つを決定してやればよい。
３つの自由度のうちスケールを決める自由度はかならず必要。＜辺の長さ＞

あと辺の長さか角度かを選べる。

（辺の長さ、角度）⇒（３、０）、（２，１）、（１、２）
ということで合同の条件は三つ。

スケールを決定しないと相似の条件にしかならないんだな。

参考URL：http://www.asahi-net.or.jp/~tt9h-hskw/sugaku/tri …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど！といったかんじです。

お礼日時：2005/02/03 16:10