数学I 角Aに対する辺の長さがa 角Bに対する辺の長さをbとする。三角形ABCにおいてbtanA=a

数学I

角Aに対する辺の長さがa 角Bに対する辺の長さをbとする。三角形ABCにおいてbtanA=atanBが成り立っているとき、この三角形はどのような三角形か

という問題の解説です。

b/a × sinA/sinB=cosA/cosBから
なぜsinA/sinB=a/bとなり、cosA/cosB=1といえるのか分かりません。
教えてほしいです。お願いします。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/12 11:38

正弦定理より

bsinA=asinB

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/10 09:19

sinA/sinB=a/b

は
sinA/a = sinB/b ①
とも書けるし
bsinA = asinB ②
ともかけます。

① は正弦定理そのものだし
② は図を描いてみれば両辺とも同じ長さであることが
すぐにわかると思います。
#CからABを通る直線におろした垂線の長さになる。

つまり証明の前半とは関係なく、
三角関数と三角形の関係/性質です。
日頃①②に親しんでないとなかなか
思いつかないかもしれません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/10 04:47

三角形がどうの、計算がどうのというより、

証明の読み方に問題があるようですね。

(b/a)・(sinA/sinB) = cosA/cosB
∴ cosA/cosB = 1 (sinA/sinB = a/b より)

と書いてあるのを見て、

(b/a)(sinA/sinB) = cosA/cosB から
sinA/sinB = a/b となり、
cosA/cosB = 1 といえる

とは解釈しません。

(b/a)(sinA/sinB) = cosA/cosB と
sinA/sinB = a/b から、
cosA/cosB = 1 といえる

と読むのが普通です。

sinA/sinB = a/b は、
(b/a)(sinA/sinB) = cosA/cosB から導かれたのではなく、
他所から持ってきて
(b/a)(sinA/sinB) = cosA/cosB と合わせて計算すると
cosA/cosB = 1 という結果になったのです。

その「他所から」というのは正弦定理からなのですが、
そういう個別の知識よりも、
証明の文章から話の流れがつかめていない
ことのほうが問題でしょう。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/09 21:06

正弦定理より

a/sinA＝b/sinB
↔sinA/sinB＝a/b…1
です
1式を用いてsinA/sinBをa/bに置き換えると
画像３行目左辺
＝(b/a)・(sinA/sinB)
＝(b/a)・(a/b)
＝1
ですから
３行目は
1＝cosA/cosB
となります

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/04/10 00:56