数Ⅲ極限 写真の問題の途中計算がわかりません。 分子を計算するとき1×(3^n+1-1)/2となりま

数Ⅲ極限
写真の問題の途中計算がわかりません。
分子を計算するとき1×(3^n+1-1)/2となりますが、
3^n+1になる理由がわかりません。
等比数列の和の公式ってr^nじゃないんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/06/29 14:30

(一)

分子＝3⁰+3¹+…+3ⁿ
なので、これは初項1項数ｎ+1の等比数列である事に留意！
項数はｎではない！
だから、公式に当てはめる時ｎ乗の部分がｎ+1に置き換わる

なお、こんなものは公式として覚えないで、単なる通分及び展開だと理解しておくとよいです

3⁰+3¹+…+3ⁿ
＝(3⁰+3¹+…+3ⁿ)×{(3-1)/(3-1)}
＝(3⁰+3¹+…+3ⁿ)×(3-1)/2…①
この式の分子は
展開公式:
(a-b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²b+aⁿ⁻³b²+…+bⁿ⁻¹)
＝aⁿ-bⁿ
を用いて
①分子＝3ⁿ⁺¹-1
と計算してしまえば、先程のような和の公式は必要ないし、勘違いしてｎ乗としてしまうこともありません

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/06/29 21:15

>等比数列の和の公式ってr^nじゃないんですか？

S(r, n)=1+r+r^2+・・・+r^(n-1)+r^n
rS(r, n)=r+r^2+・・・r^(n-1)+r^n+r^(n+1)

rS(r, n)-S(r, n)=r^(n+1)-1
S(r, n)={r^(n+1)-1}/(r-1)

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/29 17:04

画像の通り