a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)となると思いますが何故こうなるのですか？ 理解力低

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)となると思いますが何故こうなるのですか？

理解力低いので何故こうなるのか事細かに説明して頂けたらなと思います、特に何故+しか無いのに-が出てきてるかがwhatです。

質問者からの補足コメント

• 展開とかすればこの公式が正しい事は理解したのですが、左辺からアクションを起こして右辺にするとなるとこの公式がありきなのですか？
  
  因数分解ってそんなに弱いのですかね

    補足日時：2024/07/08 11:09

• 皆さんありがとうございました。

    補足日時：2024/07/08 13:40

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/07/08 08:30

素直に右辺を計算すればよいと思うのだが, やってるのかな? 「理解力低い」と自覚しているのであれば, なおさら手を動かしてみることは必要だと思うのだ.

「何故+しか無いのに-が出てきてるか」についてはいろいろ説明できそうだけど, 例えば
(a+b)(a^2+b^2) だと余計な項が出てくるからそれをキャンセルするため
ともいえるかな.

なお「何故+しか無いのに-が出てきてるかがwhatです」はなにか変な気がする. what そのものが不要なのでは. あるいは「+しか無いのに-が出てきてるかがwhyです」と書きたかった?

この回答へのお礼

右辺からを計算すると左辺になるのは分かってきました、=で繋がれているので等しい事は理解してると思いますが、左辺から右辺に行くにはどうしたら良いのかが分からかったためです。

確かに今は公式がありますがなかった時代もあったと思うのでその時のやり方が知りたいのです。

お礼日時：2024/07/08 10:23

No.10 回答者： finalbento 回答日時： 2024/07/08 13:08

展開の場合は基本的には「何も考えず機械的に計算すればできる」と言うものですが、因数分解の場合は展開と違って「機械的に計算すればいい」とはなりません。

例えば次の展開の式

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

と言う式で右辺を左辺の形に因数分解する事を考えてみると、第2項の2abを

2ab=ab+ab

とする事に気が付く必要があります。これだけ見ても「因数分解は機械的な計算ではできない」と言う事になるのは納得していただけると思います。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/07/08 13:36

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/08 12:57

>やっぱり展開が側がなきゃ因数分解側は求めてれないのですか？

多くの場合そうなります。

持ちネ夕多さで勝負です。

この問題、「a=-bでゼロになるから、因数定理からa+bで割り切れる筈」
というネ夕も使えるね。

この回答へのお礼

なるほど因数定理と言うのがあるんですね、後で見てみます。
親身になってくれてありがとうございます。

お礼日時：2024/07/08 13:39

No.8 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/08 11:48

因数分解と展開はお互い逆計算。

引き算と足し算
掛け算と割り算
微分と積分

これらも、お互い逆演算です。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/08 11:46

a^3+b^3 を　a+b で割ればよい

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2024/07/08 10:38

a³+b³ は a=-b とすれば a³+b³=0 ですね。

と言う事は a=-b → a+b の因数がある と言う事です。
従って (a+b) で くくれるように 強引に式変形をします。
a³+(a²b-a²b)+(ab²-ab²)+b³
=(a³+a²b)-(a²b+ab²)+(ab²+b³)
=(a+b)(a²+ab)-(a+b)2ab+(a+b)b²
=(a+b)(a²-2ab+b²) 。

この様に 問題に無い 文字や数字を 足して、
同じ数を引く 計算は これからも 時々出てきますよ。
一番よく出てくるのは a²+b²=(a+b)²-2ab です。

この回答へのお礼

ありがとうございます、強引にするしかないのですか...
因数分解自体がそう言う物なんですか？

お礼日時：2024/07/08 11:05

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/08 09:15

いろいろな説明がありそうだけど、ちょっとお遊びで・・・

b は a の b/a=-r 倍に目を付けて(a≠0を仮定します)
-ab = a^2・r
b^2 =a^2・r^2 だから

(a^2-ab+b^2)=a^2(1 + r + r^2)

と等比級数になる。

a+b = a(1-r) だから、これを掛けると
等比級数の途中項を「消す」常とう手段になっている。
(a^2-ab+b^2)　の ab の係数が負なのでこれが
うまくゆく。

(a+b)(a^2-ab+b^2) =a(1-r)a^2(1 + r + r^2)
= a^3 (1-r)(1 + r + r^2)=a^3(1-r^3)

最後に -a^3・r^3 = b^3 だから
=a^3+b^3

まあ、素直に展開した方がずっと簡単だけど
等比数列が絡むという知見は得られるし、これから
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3 - b^3
が容易に予想できたり、(a^2-ab+b^2)や(a^2+ab+b^2)を
3次以上に拡張できたりするから
因数分解のネタが増えると思う。

この回答へのお礼

すいません、私はそこまで数学の知識が無いので等比数列だとかは、分かりかねます。

やっぱり展開が側がなきゃ因数分解側は求めてれないのですか？
展開からはa^3+b^3になるのは分かっているのですが、因数分解から(a+b)(a^2-ab+b^2)となるにはどういう計算をしているのか、それともそんな事は出来ないのでしょうか、展開側の式は独立しているのに因数分解側は依存していて単体では何の効力もないなんて無いと思っていますが、どうなんでしょう。

お礼日時：2024/07/08 10:54

No.4 回答者： はたはたさ 回答日時： 2024/07/08 08:58

展開すればわかる

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/07/08 10:26

No.2 回答者： nantokanaru 回答日時： 2024/07/08 06:23

a^3+b^3を(a+b)で割ってみてください。

計算が正しければ(a^2-ab+b^2)が出てきます。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/08 04:11

(a+b)(a^2-ab+b^2)

=
(a+b)(aa-ab+bb)
=
a(aa-ab+bb)+b(aa-ab+bb)
=
aaa-aab+abb+aab-abb+bbb
=
aaa+aab-aab+abb-abb+bbb
=
aaa+bbb
=
a^3+b^3

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3

↓左右を入れ替えると

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2024/07/08 10:28