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「(1)サイコロを1回または2回ふり、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。1回ふって出た目を見た上で、2回目をふるか否かを決めるのであるが、どのように決めるのが有利であるか。
(2)上と同様なゲームで、3回ふることも許されるとしたら、2回目。3回目をふるか否かの決定は、どのようにするのが有利であるか。」
解説には、「E2=(1・3/6・1/6+2・3/6・1/6+3・3/6・1/6+4・3/6・1/6+5・3/6・1/6+6・3/6・1/6)+(4・1/6+5・1/6+6・1/6)=4.25」という記載があるのですが、どうしてこのような式になるのか分かりません。

A 回答 (7件)

さて、三回めも投げられる場合はどうでしょうか?


投げられるのが二回までだった場合と同様に、
二回目を投げた後で、得点が E1 よりも低ければもう一度投げるほうがよい。
得点が E1 よりも高ければもう投げないほうがよいことになります。

三回めのサイコロで得点が上がるかどうかが問題なので、
比較するのは、二回め時点での得点と E1 です。
ここで E2 は関係ありません。

この作戦での各得点の確率は
1点 (3/6)(3/6)(1/6) = 1/24
2点 (3/6)(3/6)(1/6) = 1/24
3点 (3/6)(3/6)(1/6) = 1/24
4点 1/6 + (3/6)(1/6) + (3/6)(3/6)(1/6) = 7/24
5点 1/6 + (3/6)(1/6) + (3/6)(3/6)(1/6) = 7/24
6点 1/6 + (3/6)(1/6) + (3/6)(3/6)(1/6) = 7/24
なので、得点の期待値は
E3 = 1(1/24) + 2(1/24) + 3(1/24) + 4(7/24) + 5(7/24) + 6(7/24)
  = 37/8
  = 4.625
になります。
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この回答へのお礼

「三回めのサイコロで得点が上がるかどうかが問題なので、
比較するのは、二回め時点での得点と E1 です。
ここで E2 は関係ありません。」

というところが特に参考になりました。
回答ありがとうございました。

お礼日時:2023/11/20 00:19

#6の方の



2,3回目をふったときの期待値はE2=4.25だから
1回目に5,6が出れば2回目はふらない
3回目をふったときの期待値はE1=3.5だから
2回目に4,5,6が出れば3回目はふらない

の作戦
での各得点の確率は
1点 (4/6)(3/6)(1/6) = 1/18
2点 (4/6)(3/6)(1/6) = 1/18
3点 (4/6)(3/6)(1/6) = 1/18
4点 (4/6)(1/6) + (4/6)(3/6)(1/6) = 1/6
5点 1/6 + (4/6)(1/6) + (4/6)(3/6)(1/6) = 1/3
6点 1/6 + (4/6)(1/6) + (4/6)(3/6)(1/6) = 1/3

なので、得点の期待値は
E3 = 1(1/18) + 2(1/18) + 3(1/18) + 4(1/6) + 5(1/3) + 6(1/3)
  = 14/3
  ≒ 4.666666666…

になるので
#6の方の戦略は正しいです
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1回目をふって、出た目を、2,3回目をふったときの期待値と比べるわけですよね。


2,3回目は(1)の戦略に従うとすると、確率1/2で7/2点、確率1/6ずつで4点、5点、6点なので、
1/2*7/2+(4+5+6)/6=17/4=4+1/4
点が期待できるわけです。したがって1回目に5,6が出れば2回目はふらない。2回目に4,5,6が出れば3回目はふらない。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2023/11/20 00:20

←No.4


2回め3回めを振るか否か、プレイヤーが決められるってことは、
嫌な目が出たことを無かったことにできる ということです。
少ない数の目(具体的には 3.5 よりも)を無かったことにすれば、
全体での期待値は大きくなります。
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>2回目。

3回目をふるか否かの決定は、どのようにするのが有利であるか。

1+2+3+4+5+6=21, 21÷6=3.5 ですから、
さいころを 1回振って出る目の期待値は 3.5 。
つまり 1回目で 1, 2, 3 なら、2回目を振る。
2回目で 1,2,3 なら、3回目を振る。
それだけでは。
「最後に出た目の数を得点とするゲーム」ですから、
2回目を振る場合は1回目の結果は 無視されるのですよね。
3回目を振る場合は 2回目の結果は 無視されるのですよね。
つまり 何回振っても 出目の期待値は 3.5 なのでは。
(私の 勘違いかな。)
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まず、何を以て「有利」と考えるのか?を決めないといけません。


その E2 が登場しているところを見ると、
「解説」は、期待値を最大化することを有利としているようです。
他にも、
出る可能性のある得点の最小値を最大化するのが有利とか、
出る可能性のある得点の最大値を最大化するのが有利とか、
いろいろ考え方はあると思いますが...
ともあれ、期待値を最大化することを目的にしてみましょう。

一回めのサイコロで各目が出る確率は
1が出る 1/6
2が出る 1/6
3が出る 1/6
4が出る 1/6
5が出る 1/6
6が出る 1/6
なので、一回でやめる場合の得点の期待値は
E1 = 1(1/6) + 2(1/6) + 3(1/6) + 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6)
  = 3.5
です。
一回めで出た目がこれより小さい場合は二回めを投げたほうがよいし、
これより大きい場合は二回めは投げないほうがよいことになります。

その作戦をとった場合、各得点の確率は
1点 (3/6)(1/6) = 1/12
2点 (3/6)(1/6) = 1/12
3点 (3/6)(1/6) = 1/12
4点 1/6 + (3/6)(1/6) = 1/4
5点 1/6 + (3/6)(1/6) = 1/4
6点 1/6 + (3/6)(1/6) = 1/4
です。
1点になるのは、一回めで 1,2,3 のどれかが出て
二回めで 1 が出るときだから。
4点になるのは、一回めで 4 が出るか、または
一回め1,2,3 のどれかが出て 二回めで 1 が出るときだから
上記のような確率になります。
二回を投げたり投げなかったりする場合の得点の期待値は
E2 = 1(1/12) + 2(12) + 3(1/12) + 4(1/4) + 5(1/4) + 6(1/4)
  = 4.25
です。

質問の式は、同じ計算を
E2 = 1(3/6)(1/6) + 2(3/6)(1/6) + 2(3/6)(1/6)
  + 4{ 1/6 + (3/6)(1/6) } + 5{ 1/6 + (3/6)(1/6) } + 6{ 1/6 + (3/6)(1/6) }
 = 1(3/6)(1/6) + 2(3/6)(1/6) + 2(3/6)(1/6)
  + 4(1/6) + 4(3/6)(1/6)
  + 5(1/6) + 5(3/6)(1/6)
  + 6(1/6) + 6(3/6)(1/6)
 = { 1(3/6)(1/6) + 2(3/6)(1/6) + 2(3/6)(1/6)
  + 4(3/6)(1/6) + 5(3/6)(1/6) + 6(3/6)(1/6) }
  + { 4(1/6) + 5(1/6) + 6(1/6) }
と組み替えて書いていますね。
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(2)は(1)を受けての問題なのですから


(1)ができていないといけない。

(1)を考えると、1回振ったときの出る目の期待値は
E1=1・1/6+2・1/6+3・1/6+4・1/6+5・1/6+6・1/6
 =3.5
なので『4以上が出たら2回目はやめる』
という判断になります。
これを踏まえたうえで、2回目までの期待値E2を考えたものが
あなたが提示している式です。
前半のカッコが「2回目を振ったときの計算式」です。
1回目1,2,3のいずれかが出たことを受けての2回目なので
各確率が3/6・1/6になっています(3/6が1回目に1,2,3の
いずれかになる確率、1/6が2回目にそれぞれの目が出る確率)
後ろのカッコが「1回目でやめたもの」の計算式
です。
E2=4.25ですから2回目を振った場合は5か6が出ればそこまで
1~4なら3回目をやる方が良い、という結論になります。

もちろんこれは期待値からの推測であって、
実際にどうなるかはやってみないと分かりません。
が、問題として求められているのはこの
『期待値からの推測』ですので、上記の解答が
この問題の答えになります。
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