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数学の1の因数分解の公式ですがその答えに至るまでの途中式を考えたのですが導き出せません
(a+b)(a2-ab+b2)を展開すれば=になりますがa3+b3を因数分解して(a+b)(a2-ab+b2)にどのように計算したらなるのでしょうか? どうかよろしくお願いします

gooドクター

A 回答 (3件)

>(a+b)(a2-ab+b2)を展開すれば=になりますが


(a+b)(a2-ab+b2)
=a2(a+b)-ab(a+b)+b2(a+b)
=(a3+a2b)-(a2b+ab2)+(ab2+b3)
=a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3
=a3+(a2b-a2b)+(-ab2+ab2)+b3
=a3+0+0+b3
=a3+b3

はい、なりました。

>a3+b3を因数分解して(a+b)(a2-ab+b2)にどのように計算したらなるのでしょうか?

a3、b3が居るので、とにかくa+bを3乗してみましょう。

(a+b)(a+b)(a+b)
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a2(a+b)+2ab(a+b)+b2(a+b)
=a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 ---(1)

(1)の両辺から「3a2b+3ab2」を引く。

(a+b)(a+b)(a+b)-(3a2b+3ab2)=a3+b3
(a+b)(a+b)(a+b)-3a2b-3ab2=a3+b3 ---(2)

(a+b)(a+b)(a+b)-3a2b-3ab2
=(a+b)(a2+2ab+b2)-3ab(a+b)
=(a+b){(a2+2ab+b2)-3ab}
=(a+b)(a2+2ab+b2-3ab)
=(a+b)(a2-ab+b2) ---(3)

(2)(3)より

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
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(a + b)(a2 - ab + b2) = a(a2 - ab + b2) + b(a2 - ab + b2)


= a3-a2b+ab2 + a2b -ab2 +b3
= a3 + b3


(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)
= a^3-a^2b+ab^2 + a^2b -ab^2 +b^3
= a^3 + b^3
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問題間違えてましたね。

・・(^^)

a³+b³を因数分解するのですから、これがゼロになる関係を一つだけ決めればよい。よって
a = -bのときゼロになるのは明白なので、a + b = 0
あとは、小学校の割り算の筆算と一緒です。
    ______
(a + b))a³ + b³

aをたてる。
    ___a²___
(a + b))a³ + b³
     a³ + a³b
    ---------------
       b³ - a²b

    ___a²__b²_
(a + b))a³ + b³
     a³ + a³b
    ---------------
       b³ - a²b
       b³    + ab²
    ----------------------
         -a²b - ab²


    ___a²__b²_-ab
(a + b))a³ + b³
     a³ + a³b
    ---------------
       b³ - a²b
       b³    + ab²
    ----------------------
         -a²b - ab²
         -a²b - ab²
    ----------------------
             0
よって、
a³+b³ = (a+b)(a² + b² - ab)  ※aの次数順に並べ替えると
    = (a+b)(a² - ab + b²)

 小学校の掛け算=展開、割り算=因数分解 を忘れたらダメだよ。

 256×12 とは、(2×10² + 5×10¹ + 6×10⁰)×(1×10¹ + 2×10⁰)、10²=a、10¹=b とすると、この式は、(2a + 5b + 6)(1a + 2)の展開と同じ
 256÷12 とは(2×10² + 5×10¹ + 6×10⁰)÷(1×10¹ + 2×10⁰)、10²=a、10¹=b とすると、この式は、(2a + 5b + 6)/(1a + 2)の因数分解と同じ
 小学校の筆算を復習しましょう。数学ってみな積み上げです。小学校で学んできたことを未知数に置き換えて見直すと良いです。
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