a³+b³の解き方

a²+b²の場合
(a+b)²-2abで出来ますが

a³+b³の解き方は一番容易いもので
(a+b)³-2a²b-2ab²ですか？
計算が面倒なのでもっと簡単な解き方が無いかと探っております。

No.4 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2016/10/21 22:16

私もその変形の目的が知りたいですね。

ａ＋ｂやａｂが簡単に出る物、例えば二次方程式の解と係数の関係のような物、であるならそうするのも手だと思いますが。
であるなら、
(ａ＋ｂ){(ａ＋ｂ)²－３ａｂ)
か
(ａ＋ｂ)³－３ａｂ(ａ＋ｂ)
の方が楽なのかもしれません。
普通の数なら、ａ³とｂ³をそれぞれ計算して足すのが楽なはずです。

ａ²＋２ａｂ＋ｂ²＝(ａ＋ｂ)²
なんてことはあって、何だか右辺の方が綺麗なような気がするけれど、
ａ＝３、ｂ＝√７、なんてことだと、下手に右辺の形にしたが為に、計算が面倒になることがあるでしょう。
結局左辺に戻ることになる。
左辺なら、９ ＋ ６√７ ＋ ７ で簡単に計算できますが。
一方で、
５ｘ²＋６ｘｙ＋３ｙ²＝０
なんて場合、二つの解をａ、ｂとすると、ａ³＋ｂ³はいくらか、なんてことなら、
＝(ａ＋ｂ)³－３ａｂ(ａ＋ｂ)＝．．．えぇっと、忘れた、まぁこっちの形の方が楽でしょう。
一々ａとｂを求めて三乗するよりは。．．．たぶん。
解と係数の関係以外に、ａとｂが二次方程式の二つの解のような形であれば、たとえば５±√１１のようなものなら通用するでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございますﾟ+.(◕ฺ ω◕ฺ )ﾟ+.

お礼日時：2016/10/22 17:00

No.7 回答者： isoworld 回答日時： 2016/10/22 11:53

「解く」というのは方程式があるから解けるんであって（解けないものもあるが）、a²+b²は方程式にはなっておらず、a²+b²＝(a+b)²-2ab　だとしても、それは解いたことにはなりません。

表現を変えただけでしょ。何が言いたいのか不明です。回答No.6のとおりです。

No.6 回答者： windwald 回答日時： 2016/10/22 07:38

「解く」という言葉は「問題を解く」「方程式を解く」のように使う言葉ですが、

a^3+b^3は問題でもないし方程式でもないので解くことができません。
それで回答者の皆さんが困惑しています。
a^3+b^3をどうする問題なのか補足してください。

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/21 22:20

a³+b³＝(a+b)³―3a²b―3ab²＝(a+b)³―3ab(a+b)＝(a+b){(a+b)²-3ab}になるのを

聞きたいの？

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2016/10/21 21:52

＞a³+b³の解き方は一番容易いもので　(a+b)³-2a²b-2ab²ですか？

何を云いたいのか解りません。上記の式の意味が解りません。
a,b に適当な数字を当てはめても等式になりません。
（a＝3、 b＝5 とすると　a³+b³=152で、(a+b)³-2a²b-2ab²＝272　になりますが。）

ただ単に a³+b³ に計算をするのなら、単純に a,b に数値を代入する方が早いのでは。
それとも、因数分解の公式を間違って記憶しているのでしょうか。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/21 19:59

>a²+b²の場合

>(a+b)²-2abで出来ますが
何が？　ここで「解く」とはいかなる意味で使ってますか？
この変形の目的は？

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2016/10/21 19:25

一応公式としてあるのは、

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
ですね。
この式は因数分解する為、左辺にない項を作り出さないといけないので、
公式としてこのまま教えているようです。