a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)となると思いますが何故こうなるのですか？理解力低

Question

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)となると思いますが何故こうなるのですか？

理解力低いので何故こうなるのか事細かに説明して頂けたらなと思います、特に何故+しか無いのに-が出てきてるかがwhatです。

Tacosan · Accepted Answer

素直に右辺を計算すればよいと思うのだが, やってるのかな? 「理解力低い」と自覚しているのであれば, なおさら手を動かしてみることは必要だと思うのだ.

「何故+しか無いのに-が出てきてるか」についてはいろいろ説明できそうだけど, 例えば
(a+b)(a^2+b^2) だと余計な項が出てくるからそれをキャンセルするため
ともいえるかな.

なお「何故+しか無いのに-が出てきてるかがwhatです」はなにか変な気がする. what そのものが不要なのでは. あるいは「+しか無いのに-が出てきてるかがwhyです」と書きたかった?

finalbento · Answer

展開の場合は基本的には「何も考えず機械的に計算すればできる」と言うものですが、因数分解の場合は展開と違って「機械的に計算すればいい」とはなりません。

例えば次の展開の式

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

と言う式で右辺を左辺の形に因数分解する事を考えてみると、第2項の2abを

2ab=ab+ab

とする事に気が付く必要があります。これだけ見ても「因数分解は機械的な計算ではできない」と言う事になるのは納得していただけると思います。

tknakamuri · Answer

>やっぱり展開が側がなきゃ因数分解側は求めてれないのですか？
多くの場合そうなります。

持ちネ夕多さで勝負です。

この問題、「a=-bでゼロになるから、因数定理からa+bで割り切れる筈」
というネ夕も使えるね。

ssawatake · Answer

因数分解と展開はお互い逆計算。

引き算と足し算
掛け算と割り算
微分と積分

これらも、お互い逆演算です。

mtrajcp · Answer

a^3+b^3 を　a+b で割ればよい

kairou · Answer

a³+b³ は a=-b とすれば a³+b³=0 ですね。
と言う事は a=-b → a+b の因数がある と言う事です。
従って (a+b) で くくれるように 強引に式変形をします。
a³+(a²b-a²b)+(ab²-ab²)+b³
=(a³+a²b)-(a²b+ab²)+(ab²+b³)
=(a+b)(a²+ab)-(a+b)2ab+(a+b)b²
=(a+b)(a²-2ab+b²) 。

この様に 問題に無い 文字や数字を 足して、
同じ数を引く 計算は これからも 時々出てきますよ。
一番よく出てくるのは a²+b²=(a+b)²-2ab です。

tknakamuri · Answer

いろいろな説明がありそうだけど、ちょっとお遊びで・・・

b は a の b/a=-r 倍に目を付けて(a≠0を仮定します)
-ab = a^2・r
b^2 =a^2・r^2 だから

(a^2-ab+b^2)=a^2(1 + r + r^2)

と等比級数になる。

a+b = a(1-r) だから、これを掛けると
等比級数の途中項を「消す」常とう手段になっている。
(a^2-ab+b^2)　の ab の係数が負なのでこれが
うまくゆく。

(a+b)(a^2-ab+b^2) =a(1-r)a^2(1 + r + r^2)
= a^3 (1-r)(1 + r + r^2)=a^3(1-r^3)

最後に -a^3・r^3 = b^3 だから
=a^3+b^3

まあ、素直に展開した方がずっと簡単だけど
等比数列が絡むという知見は得られるし、これから
(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3 - b^3
が容易に予想できたり、(a^2-ab+b^2)や(a^2+ab+b^2)を
3次以上に拡張できたりするから
因数分解のネタが増えると思う。

はたはたさ · Answer

展開すればわかる

nantokanaru · Answer

a^3+b^3を(a+b)で割ってみてください。

計算が正しければ(a^2-ab+b^2)が出てきます。

mtrajcp · Answer

(a+b)(a^2-ab+b^2)
=
(a+b)(aa-ab+bb)
=
a(aa-ab+bb)+b(aa-ab+bb)
=
aaa-aab+abb+aab-abb+bbb
=
aaa+aab-aab+abb-abb+bbb
=
aaa+bbb
=
a^3+b^3

(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3

↓左右を入れ替えると

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)となると思いますが何故こうなるのですか？ 理解力低

素直に右辺を計算すればよいと思うのだが, やってるのかな? 「理解力低い」と自覚しているのであれば, なおさら手を動かしてみることは必要だと思うのだ.

展開の場合は基本的には「何も考えず機械的に計算すればできる」と言うものですが、因数分解の場合は展開と違って「機械的に計算すればいい」とはなりません。

>やっぱり展開が側がなきゃ因数分解側は求めてれないのですか？

因数分解と展開はお互い逆計算。

a^3+b^3 を a+b で割ればよい

a³+b³ は a=-b とすれば a³+b³=0 ですね。

いろいろな説明がありそうだけど、ちょっとお遊びで・・・

展開すればわかる

a^3+b^3を(a+b)で割ってみてください。

(a+b)(a^2-ab+b^2)

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