ab>a+bの成立条件

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5518871.html
先ほどこちらで質問させていただいたものです。
回答していただき本当にありがとうございます！

まだ先にいただいた回答を完全に理解できたわけではありませんが、この質問に関連して新たな疑問ができましたので質問させていただきたいのです。

ab>a+bの成立条件、つまりa, bがどのような条件を満たせば ab>a+b は成立するのでしょうか？
パッと計算した感じはa, bがそれぞれ2以上でa≠bであることのようなんですが、私では証明できませんでした・・・。

気になってこのままでは本当に夜も眠れません！どうかよろしくお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/12/13 22:00

不等式を変形すると

ab>a+b
ab-a-b>0
ab-a-b+1>1

(a-1)(b-1)>1

a=1やb=1は上の不等式を満たさないので

a≠1,b≠1

a>1の時　
a-1>0 なので両辺を(a-1)で割ると

　b-1>1/(a-1)
　b>1+{1/(a-1)} (a>1) …(1)

a<1の時
a-1<0 なので両辺を(a-1)で割ると

　b-1<1/(a-1)
　b<1+{1/(b-1)} (a<1) …(2)

(1)と(2)を満たす領域を、
横軸 a, 縦軸 b　にとって図示すると
添付図の斜線の引いた領域
（境界を含まず）になる。

以上から　ab>a+b　の成立要件は

「点(a,b)　が 図の斜線の領域内の存在することである」

この回答へのお礼

ありがとうございます！前質問と合わせてスッキリわかりました！
b>～、a>～
という形で表せるものだとばかり思っていたので、こんな双曲線が答えだとは思いもしませんでした！
本当にありがとうございます！

お礼日時：2009/12/14 11:19

No.4 回答者： dragons-41 回答日時： 2009/12/13 22:09

#3です。

すみません、a,bは実数でしたね。
#2の方が正しいです。

No.3 回答者： dragons-41 回答日時： 2009/12/13 22:04

ab>a+bより

ab-a-b>0
(a-1)(b-1)-1>0
(a-1)(b-1)>1
これを満たす条件は
a-1>1かつb-1>1
または
a-1<-1かつb-1<-1
よって
a>2かつb>2
または
a<0かつb<0
となります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
間違った回答でしたが、絶対自分も犯してしまうミスなので、本当に参考になりました！
基本的な考え方として、
(a-1)(b-1)>1
のあと、本来ならばinfo22さんのように
i) a-1>1(または b-1>1)
と
ii) a-1<1(または b-1<1)
で場合分けしないといけないところを、dragons-41さんの回答ではi)の場合しか考慮していないから誤った回答なのですね？
更に
(a-1)(b-1)>1
を
a-1>1
と
b-1>1
に分けてしまったことも誤っているのでしょうか？

お礼日時：2009/12/14 11:15

No.1 回答者： noname#133757 回答日時： 2009/12/13 21:11

こんばんは。

a>1,b>1 か
a<0,b<0 のいずれか場合は、条件を満たすと思います。
a<0,b>1 や
a>1,b<0 の場合は、条件を満たせないと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

i) a > 1 , b > 1 の場合
a,bが共に、例えば1.1の場合などは
ab=1.21、a+b=2
となってしまいます・・・。

ii) a < 0 , b < 0 の場合
これも多分すぐ上のような反例が見つかると思います。

繰り返しになりますが、回答していただいてありがとうございます。
※ちなみに虚数は考えないでいただきたいです。

お礼日時：2009/12/13 21:29